MK 3.6.2003 Grenzwertexgegenunend.mcd
Einführung des Grenzwertes
Grenzwerte einer Funktion für x-> am Beispiel
D = R+
Grenzwert_gegen_Unend_1.gxt
Ab einem bestimmten x-Wert liegen alle y-Werte unterhalb eines angenommenen y-Wertes
Bsp: Obergrenze 2 ab ca. x = 2 liegen alle Funktionswerte zwischen 1 und 2
Bsp: Obergrenze 1.3 ab ca. x = 8 liegen alle Funktionswerte zwischen 1 und 1.3
Also nähert sich wahrscheinlich der Funktionswert der Zahl 1 beliebig, wenn x ->
Definition des Grenzwertes
Grenzwert der Funktion existiere , falls man sich von oben (y- Wert)
beliebig unserem vermuteten Grenzwert 1 nähern kann und trotzdem einen Wert xr
für die x-Werte bestimmen kann so dass für alle weiter rechts (von xr) liegenden
Werte immer unterhalb unserer angenommenen oberen Schranke liegen.
Allgemein:
Eine Funktion f(x) mit rechtsseitig unbeschränkter Definitionsmenge D konvergiert gegen den Grenzwert a, falls es zu jedem e > 0 eine Zahl r gibt, so dass für alle x > r D gilt:
f(x) Ue(a).
Unter der e-Umgebung einer Zahl versteht man die Menge
Ue(a) = { t R | a - e < t < a + e }
= ] a - e ; a + e [
= { t R | |t - a| < e }
Das Bsp. von oben:
Funktion
vermuteter Grenzwert a = 1
Gegeben: e
Gesucht: r
=>
Bsp.: Sei
Dann ist
Also: Für x > 2000 gilt | f(x) - 1| < 0.001