MK 4.6.2003 Randextremwerte.mcd
Randextremwerte, absolute Extremwerte
Def.:
f sei stetig in [ a ; b ]. Sei h>0.
An der Stelle a hat f ein Randmaximum, wenn gilt f(a) > f(a+h).
An der Stelle a hat f ein Randminimum, wenn gilt f(a) < f(a+h).
An der Stelle b hat f ein Randmaximum, wenn gilt f(b-h) < f(b).
An der Stelle b hat f ein Randminimum, wenn gilt f(b-h) > f(b).
Satz:
f sei stetig in [ a ; b ] und differenzierbar in ]
a ; b [. Sei h>0.
An der Stelle a hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(a+h) < 0.
An der Stelle a hat f ein Randminimum, wenn gilt f '(a+h) > 0.
An der Stelle b hat f ein Randmaximum, wenn gilt f '(b-h) > 0.
An der Stelle b hat f ein Randminimum, wenn gilt f '(b-h) < 0.
Def.:
Das absolute
Maximum einer Funktion f ist diejenige
Stelle, bei dem f den größten
Funktionswert annimmt.
Das absolute
Minimum einer Funktion f ist diejenige
Stelle, bei dem f den kleinsten
Funktionswert annimmt.
Bsp.:
Gegeben sei die Funktion
mit
D = [ -8 ; 6 ].
-4 3
steigen fallen steigen
Also ergibt sich:
-
steigen von -8 weg: Randminimum
-
steigen dann fallen bei -4: relatives Maximum
-
fallen danach steigen bei 3: relatives Minimum
-
steigen zu 6 hin: Randmaximum
<--- kleinster Funktionswert, also ist das
absolute Min bei -8
<--- größter Funktionswert, also ist
das absolute Max bei -4
