MK 26.1.2006 UeberblickKurvendisk_1.mcd
Überblick über die Kurvendiskussion (1)
Monotonie, Extrema am Beispiel
mit D = [ -4 ; 4 ]
"Es gibt Ränder!"
Extrema:
(1) Die Kandidaten für Extremwerte bestimmt man, indem
a) die 1. Ableitung f ' gebildet wird und
b) der Funktionsterm 0 gesetzt wird und
c) die Gleichung (mit Poldiv) gelöst wird.
a) f ' :
b)
c)
Durch Probieren:
Poldiv.:
Quadr. Gl.:
> 0, also 2 Lsgn.
In diesem Beispiel sind
,
und
Kandidaten für Extremstellen.
(2) Als nächstes wird nachgewiesen, dass die Kandidaten auch wirklich Extremstellen (und keine
Terassenpunkte) sind. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
(2.1) Man bestimmt die Monotonie
Monotonie:
a) Man skizziert den Graphen der ersten Ableitung f ' (nicht f ).
Jetzt kann man ablesen, wo f ' unterhalb (f ' < 0) und
oberhalb (f ' > 0) der x-Achse
verläuft.
x
[-4 ; -3]: Graph von f (nicht f ' ) ist streng monoton fallend (smofa).
x
[-3 ; -1]: Graph von f ist streng monoton steigend (smost).
x
[-1 ; 2]: Graph von f ist smofa.
x
[2 ; 4]: Graph von f ist smost.
Die Stellen -3, -1, 2 sind sowohl smost wie smofa.
b) Zum Graphen von f ' werden Steig- und Fallpfeile gezeichnet:
Der Vorzeichenwechsel von f '
ist der Nachweis für die Existenz
der Extremstellen.
(2.2) Man kann zum Nachweis der Extremstellen auch die 2. Ableitung f '' benutzen.
a) Die 2. Ableitung f '' wird gebildet und
b) die Kandidaten für die Extremstellen werden in f '' (nicht in f und nicht in f ' ) eingesetzt und
das Vorzeichen bestimmt die Art der relativen Extremstelle.
An den Rändern funktioniert dieses Verfahren nicht.
Randextremwerte:
< 0 am linken Rand => Randmaximum
a) f '' :
> 0 am rechten Rand => Randmaximum
b)
< 0 => bei
gibt es ein relatives Maximum
> 0 => bei
gibt es ein relatives Minimum
> 0 => bei
gibt es ein relatives Minimum
(3) Werden nicht nur Extremstellen (d.h. nur die x-Werte) gesucht, muss man noch die Funktionswerte (y-Werte)
berechnen. Dazu werden die x-Werte in f (nicht in f ' und nicht in f '' ) eingesetzt.
Max
Min
Min
RMax
RMax
(4) Die absoluten Extrempunkte erhält man, wenn man den absolut größten und den absolut kleinsten
Funktionswert gefunden hat. (Macht keinen Sinn, wenn die Funktion unbeschränkt ist)
Hier ist das Randmaximum (4; 475) absolutes Maximum und das relative Minimum (-3; -189) absolutes Minimum.
