MK 26.1.2006 UeberblickKurvendisk_2.mcd
Überblick über die Kurvendiskussion (2)
Krümmung, Wendepunkte am Beispiel
mit D = [ -4 ; 4 ]
"Es gibt Ränder!"
Wendestellen:
(1) Die Kandidaten für Wendestellen bestimmt man, indem
a) die 2. Ableitung f '' gebildet wird und
b) der Funktionsterm 0 gesetzt wird und
c) die Gleichung gelöst wird.
a) f '' :
b)
c)
Quadr. Gl.:
> 0, also 2 Lsgn.
In diesem Beispiel sind
,
und
Kandidaten für Wendestellen.
(2) Als nächstes wird nachgewiesen, dass die Kandidaten auch wirklich Wendestellen (und keine
Extrempunkte) sind. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
(2.1) Man bestimmt die Krümmung
Krümmung:
a) Man skizziert den Graphen der zweiten Ableitung f '' (nicht f und nicht f ' ).
Jetzt kann man ablesen, wo f '' unterhalb (f '' < 0) und
oberhalb (f '' > 0) der x-Achse
verläuft.
x
[-4 ; -2.12]: Graph von f (nicht f ' und nicht f '' ) ist konkav (rechtsgekrümmt)
x
[-2.12 ; 0.786]: Graph von f ist konvex (linksgekrümmt)
x
[ 0.786 ; 4]: Graph von f ist konkav (rechtsgekrümmt)
Die Stellen -2.12, 0.786 sind sowohl konvex wie konkav.
b) Der Vorzeichenwechsel von f '' ist der Nachweis für die Existenz der Wendestellen.
Die Stellen
und
sind also Wendestellen.
(2.3) Man kann zum Nachweis der Wendestellen auch die 3. Ableitung f ''' benutzen.
a) Die 3. Ableitung f ''' wird gebildet und
b) die Kandidaten für die Wendestellen werden in f ''' (nicht in f und nicht in f ' und nicht in f '' )
eingesetzt und wenn der Wert nicht 0 ist, dann existiert der Wendepunkt.
a) f ''' :
b)
nicht 0 => bei
gibt es einen Wendepunkt.
nicht 0 => bei
gibt es einen Wendepunkt.
(3) Werden nicht nur Wendestellen (d.h. nur die x-Werte) gesucht, muss man noch die Funktionswerte (y-Werte)
berechnen. Dazu werden die x-Werte in f (nicht in f ' und nicht in f '' und nicht in f ''' ) eingesetzt.
WP1(-2.12; -34.8)
WP2(0.786; -107.126)
