MK 4.6.2003 ZweiteAbleitung.mcd
Zweite und höhere Ableitungsfunktionen
Def.:
Wenn der Grenzwert
an einer beliebigen Stelle x
D
existiert, so heisst
f´´(x) die 2. Ableitung der Funktion f(x).
( f´(x) die 1. Ableitung der Funktion f(x) )
Bsp.:
man kann auch weiter differenzieren ...
usw
Graphische Deutung der 2. Ableitung
gibt
die Steigung der Funktion wieder.
gibt die
Steigung der Steigung wieder.
Wenn die Steigung immer weiter abnimmt (
), so
nimmt die Kurve folgenden prinzipiellen Verlauf:
Dieser Graph ist konvex
(rechtsgekrümmt)
große Steigung keine Steigung(0) kleine
Steigung
Wenn die Steigung immer weiter zunimmt (
), so
nimmt die Kurve folgenden prinzipiellen Verlauf:
Dieser Graph ist konkav
(linksgekrümmt)
kleine Steigung keine Steigung(0) große
Steigung
Die zweite Ableitung einer Funktion (
) gibt
also die Krümmung der Funktion wieder.
Satz:
f sei zweimal differenzierbar. Gilt für eine
Stelle x0
, so ist f
an dieser Stelle konvex,
, so ist f
an dieser Stelle konkav.
Anwendung auf Extrema
Satz:
f sei zweimal differenzierbar. Gilt für eine
Stelle x0
und
, so hat f
an dieser Stelle ein Maximum,
, so hat f
an dieser Stelle ein Minimum.
Anwendung auf Wendepunkte
Def.:
Wechselt an einer Stelle x0 der Funktion f das
Krümmungsverhalten (das Vorzeichen von f´´(x) ), so hat die Funktion an dieser
Stelle einen Wendepunkt.
Übertragung des Satzes über Extrema auf
Wendepunkte:
Satz:
f sei dreimal differenzierbar. Gilt für eine
Stelle x0
und
, oder
, so hat
f an dieser Stelle einen Wendepunkt.
