GS - 24.08.04 - abl_01_Grundbegr.mcd
Der Ableitungsbegriff
- Die Steigung von Graphen -
1. Einführung in die Problematik:
Bekannt ist der Funktionswert einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x0.
Interessant: Änderung des Funktionswertes f(x0), wenn sich das Argument x0 ändert.
Die Differentialrechung ermöglicht es, auf der Grundlage des Grenzwertbegriffes Eigenschaften von Funktionen zu untersuchen.
2. Der Differenzenquotient:
Beispiel:
Der bei einer Bewegung eines Körpers zurück-
gelegte Weg lässt sich durch folgende Funktion beschreiben:
Welche Wegstrecke Ds wird in einem be-
stimmten Zeitintervall Dt zurückgelegt?
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit?
Wir betrachten in der Mathematik die Funktion f
ohne Einheiten:
Die Änderungsrate einer Funktion kann
mit Hilfe des Steigungsdreiecks einer
Geraden, hier die Sekantensteigung, beschrieben werden.
Steigung der Sekante:
Nun gilt:
Wähle x beliebig, d.h.
Q(x1/y1)
Dy
Gf
P(x0/y0)
Dx
x0
x1 = x0 + Dx
Definition: Differenzenquotient (FS Seite 57/A1)
Die Steigung der Sekante an der Stelle x0 heißt:
Differenzenquotient an der Stelle x0:
und allgemein
Differenzenquotient an der Stelle x:
3. Der Differentialquotient:
Gesucht ist die Steigung der Tangente
an der Stelle x0.
Der Punkt P der Sekante ist fest.
der Punkt Q wandert auf dem Graphen
Gf zum Punkt P.
Das bedeutet:
Die Intervallsekante geht in die Tangente,
die Steigung der Sekante geht in
die Steigung der Tangente und
der Differenzenquotient geht in den
Differentialquotient über.
Sekante 1
Sekante 2
Sekante 3
Tangente
P(x0/y0)
Definition: Differentialquotient (FS Seite 57/A2)
Lässt man den rechten Kurvenpunkt in den linken Kurvenpunkt wandern, schreibt der Mathematiker:
Differentialquotient an der Stelle x0:
und allgemein
Differentialquotient an der Stelle x:
Bezeichung: Der Term
heißt 1. Ableitung der Funktion
an der Stelle x0.
Die Funktion
heißt Ableitungsfunktion.
Wähle:
Animation von 0 bis 32
linker Punkt fest:
rechter Punkt:
x0
4. Die Anwendung im Eingangsbeispiel:
Mit dem Hilfmittel "Differentialquotient" kann nun in jedem beliebigen Kurvenpunkt die Steigung der
Tangente angegeben werden.
Das heißt konkret für das Beispiel:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt:
. Das ist die Steigung der Sekante.
Die Momentangeschwindigkeit beträgt:
Das ist die Steigung der Tangente.
Animation von 0 bis 60, k = 0 setzen
Mathematik:
Steigung:
Physik:
Weg:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
Anwendungen:
