GS - 24.08.04 - abl_07_Extrema.mcd
Extrema
- Verschiedene Arten -
1.
Differenzierbare Funktionen:
Relatives
Extremum: FS
Seite 63 / G4
Satz:
Notwendige
und hinreichende Bedingung:
Falls f´´(x)
> 0
rel.
Minimum und falls f´´(x)
< 0
rel.
Maximum
oder nur die
hinreichende Bedingung:
Wechselt die Ableitungsfunktion f´(x) an der
Stelle x0 das
Vorzeichen von positiv nach negativ, so hat
die Funktion f an der Stelle x0 ein relatives
Maximum.
Wechselt die Ableitungsfunktion f´(x) an der
Stelle x0 das
Vorzeichen von negativ nach positiv , so hat
die Funktion f an der Stelle x0 ein relatives
Minimum.
Absolutes
Extremum: FS
Seite 63 / G4a
Satz: Ist f auf einem
abgeschlossenen Intervall [ a ; b ] definiert, so ergeben sich die absoluten Extrema, indem man die relativen Extrema
über
bestimmt
und mit den Funktionswerten am Rand vergleicht.
Die Bestimmung des absoluten Extremums wird vor
allem bei den Optimierungsaufgaben
mit Anwendungsbezug eine
große Rolle spielen.
Aufgabe
Lösung
Randextremum:
Größter bzw. kleinster Wert der
Funktion wird auf dem Rand der Definitionsmenge angenommen
Beispiel: Gegeben
ist der Funktionsterm f auf der Definitionsmenge IR bzw. [ - 4 ; 4 ]:
Funktionsterm:
Rel. Max.
Abs. Max.
Randmin.
Rel. Min.
Randmax.
Abs. Min.
Abs. Min.
2.
Nicht differenzierbare Funktionen:
Extremum
auf der Nahtstelle:
Das Monotonieverhalten ändert sich von
steigend zu fallend (Maximum) bzw. von fallend zu steigend (Minimum).
Beispiel: Gegeben
ist der Funktionsterm f auf der Definitionsmenge IR bzw. [ - 4 ; 4 ]:
Max.
Min.
Steigung links:
Steigung links:
Steigung rechts:
Steigung rechts:
Änderung von steigend zu fallend: Maximum
Änderung von fallend zu steigend: Minimum
