GS - 24.08.04 - abl_09_Flachpunkte.mcd
Höhere Ableitungen
- Flachpunkte -
Es gibt Funktionen, deren zweite Ableitung mehrfache Nullstellen hat, das heißt auch die weiteren Ableitungen haben Nullstellen. Die Auswirkungen auf den Graphen socher Funktionen sollen im Folgenden untersucht werden.
Definition:
Unter dem Flachpunkt einer einer Funktion versteht man den Kurvenpunkt (x0/f(x0)) mit der Bedingung
f´´(x0) = 0. Diese Nullstelle der 2. Ableitung darf auch eine mehrfache Nullstelle sein.
Flachpunkte können Extrempunkte oder Wendepunkte (auch Terassenpunkte) sein.
Beispiel 1: Gegeben sind die Potenzfunktionen f1 und f2 mit ihren Ableitungen.
Funktion f1 mit geradem Exponenten:
Funktion f2 mit ungeradem Exponenten:
1. Ableitung:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
2. Ableitung:
Bedingung für Flachpunkt:
Bedingung für Flachpunkt:
zweifache Nullstelle, also ändert sich
das Krümmungsverhalten nicht
dreifache Nullstelle, also ändert sich
das Krümmungsverhalten.
Anschaulich bedeutet das eine Tangente mit mindestens dreifacher Berührungsstelle.
Funktionen, deren 2. Ableitung an einer Stelle x0 = 0 ist, verlaufen dort fast geradlinig, also flach.
Der Flachpunkt ist eine vierfache Nullstelle,
die hier auch ein absolutes Minimum ist.
Der Flachpunkt ist eine fünffache Nullstelle,
hier ein Wendpunkt mit horizontaler Tangente,
also auch ein Terrassenpunkt.
Beispiel 2: Gegeben ist die Funktion f mit ihren Ableitungen.
Funktionsterm:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
3. Ableitung:
Nullstellen der 2. Ableitung:
einfache Nullstelle:
Art des Flachpunktes:
ungleich Null, also Wendepunkt
WP( / 6.5)
doppelte Nullstelle:
gleich Null, also Flachpunkt
Art des Flachpunktes:
FP( / 1)
Tangente im Wendepunkt:
durchsetzt den Grafen, Krümmung ändert sich
Tangente im Flachpunkt:
berührt den Grafen, Krümmung ändert sich nicht
Wähle:
z. B.: c = 0, 174, 350, 800, 1000
Animation: c = 0 und FRAME von 0 bis 1200
AllgemeineTangente:
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