GS - 24.08.04 -
abl_09_Flachpunkte.mcd
Höhere Ableitungen
- Flachpunkte -
Es gibt Funktionen, deren zweite Ableitung
mehrfache Nullstellen hat, das heißt auch die weiteren
Ableitungen haben Nullstellen. Die Auswirkungen auf den
Graphen socher Funktionen sollen im Folgenden untersucht
werden.
Definition:
Unter dem Flachpunkt einer
einer Funktion versteht man den Kurvenpunkt (x0/f(x0)) mit der Bedingung
f´´(x0) = 0. Diese
Nullstelle der 2. Ableitung darf auch eine mehrfache
Nullstelle sein.
Flachpunkte können Extrempunkte oder Wendepunkte (auch
Terassenpunkte) sein.
Beispiel 1: Gegeben
sind die Potenzfunktionen f1 und f2 mit ihren
Ableitungen.
Funktion f1 mit geradem
Exponenten:
Funktion f2 mit ungeradem
Exponenten:
1. Ableitung:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
2. Ableitung:
Bedingung für Flachpunkt:
Bedingung für Flachpunkt:
zweifache
Nullstelle, also
ändert sich
das Krümmungsverhalten nicht
dreifache
Nullstelle, also
ändert sich
das Krümmungsverhalten.
Anschaulich bedeutet das eine Tangente mit mindestens
dreifacher Berührungsstelle.
Funktionen, deren 2. Ableitung an einer Stelle
x0 = 0 ist, verlaufen
dort fast
geradlinig, also
flach.
Der Flachpunkt ist eine vierfache
Nullstelle,
die hier auch ein absolutes Minimum ist.
Der Flachpunkt ist eine fünffache
Nullstelle,
hier ein Wendpunkt mit horizontaler Tangente,
also auch ein Terrassenpunkt.
Beispiel 2: Gegeben
ist die Funktion f mit ihren Ableitungen.
Funktionsterm:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
3. Ableitung:
Nullstellen der 2. Ableitung:
einfache Nullstelle:
Art des Flachpunktes:
ungleich Null, also Wendepunkt
WP(
/ 6.5)
doppelte Nullstelle:
gleich Null, also Flachpunkt
Art des Flachpunktes:
FP(
/ 1)
Tangente
im Wendepunkt:
durchsetzt den Grafen, Krümmung ändert
sich
Tangente im Flachpunkt:
berührt den Grafen, Krümmung ändert
sich nicht
Wähle:
z. B.: c = 0, 174, 350, 800, 1000
Animation: c = 0 und FRAME von 0 bis 1200
AllgemeineTangente: