GS - 24.08.04 - anw_03_Kruemmungskreise.mcd
Herleitung der Krümmungskreise
- Mittelpunkt M und Radius r -
Weiterführendes: Nicht im Lehrplan von FOS/BOS
1. Herleitung des Krümmungskreises: FS Seite 64 / 5c
Quelle: Josef Rolfs, Friesoythe, email: Josef.Rolfs@t-online.de
Gesucht ist ein Kreis, der durch den Kurvenpunkt P(x0/f(x0)) geht und dort die gleiche Tangente wie die Kurve hat und dessen 2. Ableitung mit f´´(x0) übereinstimmt. Die Krümmung dieses Schmiegekreises wird dann als Kurvenkrümmung r in P definiert.
grüner Kreis:
roter Kreis:
Allgemeine Kreisgleichung mit Mittelpunkt M(xM/yM) und Radius r: FS Seite 41 / B2
Gleichung (1)
Auflösen nach y liefert zwei Halbkreise:
oberer Halbkreis:
unterer Halbkreis:
Funktionsterm:
1. Ableitung:
Vereinfachen liefert:
Gleichung (2)
2. Ableitung nach der Quotientenregel und vereinfachen:
Gleichung (3)
Gleichung (1) in Gleichung (2) einsetzen:
Vereinfachen und Substitution:
Gleichung (4)
Gleichung (4*)
Gleichung (1) in Gleichung (3) einsetzen:
liefert noch vereinfacht die
Vereinfachen und Substitution
Gleichung (5)
Gleichung (4*) in (5) einsetzen:
Gleichung (6)
Vereinfacht:
Resubstitution:
yM einsetzen in (5)
Vereinfacht:
Resubstitution:
xM und yM in Gleichung (1) einsetzen, vereinfachen und auflösen :
keine Lösung, da Radius immer positiv sein muss
Resubstitution:
2. Herleitung in Mathcad:
Gleichung (1)
Gleichung (2)
Gleichung (3)
Lösung
keine Lsg.
keine Lsg.
keine Lsg.
Lösung abgelesen:
umgeformt:
umgeformt:
Resubstitution:
Vergleiche mit den Formeln in der Formelsammlung Seite 64 / 5c
Krümmungskreismittelpunkt:
Krümmungsradius r = Kurvenkrümmung r :
