MK 4.6.2003 LineareGleichungssysteme.mcd

Lineare Gleichungssysteme

Def.:

für

ist ein Lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen.

+ .. +

Die

bilden die

Koeffizientenmatrix

+ .. +

.

.

Die

sind die Variablen

+ .. +

Die

sind die rechten Seiten

Bsp.:

Hier ist n = m = 3

Merke:

Ist (mehr Gleichungen als Variable), so ist das LGS in der Regel überbestimmt (muss aber

nicht sein) und hat normalerweise keine Lösungen.

Ist (mehr Variable als Gleichungen), so ist das LGS in der Regel unterbestimmt (muss aber

nicht sein) und hat normalerweise beliebig viele Lösungen.

Sind alle (die ganze rechte Seite), so heisst das LGS homogen und hat immer die triviale

Lösung .

Bsp.:

3 Gleichungen, 2 Unbekannte. Gleichung I und Gleichung III widersprechen sich. Es gibt also keine Lösung.

Bsp.:

1 Gleichungen, 2 Unbekannte. Die Gleichung hat z.B. die Lösung (0; -2).

Man bestimmt dann die Lösungen in Abhängigkeit von Parametern, hier:

Bsp.:

Das LGS ist homogen, d.h. die rechten Seiten sind 0.

Das LGS hat die triviale Lösung

Bsp.:

3 Gleichungen, 2 Unbekannte. Die Gleichungen sind aber linear abhängig.

(Es ist hier eigentlich nur 1 Gleichung!) Man bestimmt die Lösungen in Abhängigkeit von einem Parameter.