MK 4.6.2003 MethodenLGS_2.mcd

Methoden zur Lösung eines LGS (II)

(3) Determinantenverfahren nach Cramer

Gabriel Cramer (1704 - 1752, von Beruf Mönch) entwickelte ein stark formalisiertes Lösungsverfahren für LGS.

(Bedingung: Gleichviele Variablen und Gleichungen)

Determinanten

(Zuerst das Handwerkszeug, dann das Lösungsschema!)

Def.:

Ein Zahlenschema der Form

mit allen

€ R

heisst Determinante (n-reihig).

Die Entwicklung von Determinanten

(Wie rechnet man den Wert einer Determinante aus?)

Eine 2-reihige Determinante wird folgendermaßen berechnet:

"Hauptdiagonale (links oben nach rechts unten)

- Nebendiagonale (links unten nach rechts oben)"

Eine beliebige Determinante wird nun nach einer Zeile oder Spalte entwickelt.

Am Beispiel: (Entwicklung nach der 1. Zeile)

Man nimmt die Elemente der 1. Zeile als Faktoren vor Unterdeterminanten, die entstehen, wenn man die Zeile

und Spalte streicht, in der der jeweilige Faktor steht. Die Produkte aus Faktor und Unterdeterminante wird

addiert oder subtrahiert. Das Vorzeichen wird nach Zeilennummer/Spaltennummer bestimmt. Man addiert die Zeilen- und Spaltennummer: Ergebnis gerade: +, ungerade: -

(Ein Beispiel: Enwicklung nach der 6. Zeile: Das erste Element steht in der 6. Zeile, 1. Spalte, 6+1=7, ungerade, also wird mit - begonnen.)

Das gleiche Beispiel nach der 2. Zeile entwickelt:

Eine dieser Unterdeterminanten kann dann weiter entwickelt werden, z. B.:

Die entstandenen 2-reihigen Determinanten lassen sich mit obiger Methode berechnen, z. B.:

Obiges Beispiel im letzten Entwicklungsschritt:

Insgesamt werden zwölf 2-reihige Determinanten berechnet!

Wer das Beispiel nachrechnen möchte:

Für die Berechnung von 3-reihigen Determinanten kann man die Regel von Sarrus heranziehen, die die Entwicklung der 3-reihigen und anschließende Berechnung von 2-reihigen Determinanten bereits enthält:

Bsp.:

+

+

+

Die ersten zwei Spalten rechts danebenschreiben,

dann:

Hauptdiagonalen - Nebendiagonalen

-

-

-

Die Cramersche Regel

(1) Bilde die Koeffizientendeterminante:

Ist , so hat das LSG eine eindeutige Lösung.

(Ist und alle , so gibts eine Parameterlösung.

Ist und ein , so gibts keine Lösung.)

(2) Bilde alle Formdeterminanten Di:

Die 1. Spalte wird durch die rechte Seite (die bs) ersetzt.

Die 2. Spalte wird durch die rechte Seite ersetzt.

usw.

(3) Berechne die Lösungen:

...

Das Verfahren am Beispiel:

Es existiert eine eindeutige Lösung