MK 4.6.2003 MethodenLGS_3.mcd

Methoden zur Lösung eines LGS (III)

(4) Additionsverfahren

(Gaußscher Eliminationsalgorithmus bei rein formaler Ausführung)

Ziel:

Die sukzessive Reduktion der Variablen (Wir eliminieren eine nach der anderen!)

Satz:

Man kann in einem LGS ein Vielfaches einer Zeile (eine Gleichung) zu einer anderen Zeile addieren,

ohne dass sich die Lösungsmenge des LGS ändert.

Man wird also ein Vielfaches einer Zeile immer so zu einer anderen addieren, dass eine bestimmte Variable

jeweils wegfällt.

Spielregel: In einem Reduktionsschritt müssen alle Gleichungen mindestens einmal verwendet werden.

Das formale Verfahren für das linke Beispiel:

Hier wird streng in der Reihenfolge x₁ .. x_n elminiert.

Das Verfahren am Beispiel:

I

II

III

5 Zeile1 + 3 Zeile2 = Zeile2neu

1. Schritt: Eliminiere x₃

-4 Zeile1 + 3 Zeile3 = Zeile3neu

I bleibt:

I

x₁ ist weg

II + I :

IV

2III + II :

V

1 Zeile2 - 1 Zeile3 = Zeile3neu

2. Schritt: Eliminiere x₂

I bleibt:

I

x₂ ist weg

"Dreiecksmatrix"

IV bleibt:

IV

V + 3IV :

VI

Die Lösungen:

3. Schritt: Die Lösungen

Zeile3:

aus VI :

Zeile2:

mit

aus IV:

Zeile1:

mit

aus I:

Noch ein Beispiel:

I

II

III

IV

1. Schritt: Eliminiere x₄

I bleibt:

I

I - II :

V

I + 2III :

VI

I + IV :

VII

2. Schritt: Eliminiere x₂

I bleibt:

I

V bleibt:

V

V + 2VI :

VIII

V - VII :

IX

3. Schritt: Eliminiere x₁

I bleibt:

I

Tipp: Man muss die Gleichungen nicht unbegingt immer wieder abschreiben. Die Zeilen mit dem "bleibt" können entfallen.

V bleibt:

V

VII bleibt:

VIII

2VIII - IX :

X

4. Schritt: Die Lösungen

aus X :

aus VII:

aus V:

aus I:

Unterbestimmte LGS mit dem Additionsverfahren (mit Gauß)

Bsp.:

I

II

III

I

II - I:

IV

III - 2I:

V

I

IV

V - 2IV:

VI

VI ist eine immer wahre Aussage. Also ist x₃ beliebig. Eine Variable ist somit immer wählbar, die anderen hängen von ihr ab.

Ergibt sich eine Zeile mit einer immer wahren Aussage, so ist das LGS unterbestimmt.

Die Gleichungen sind linear abhängig.

Ergeben sich zwei Null-Zeilen (mit wahren Aussagen), so darf man zwei Variable frei wählen. (3 ->3, usw.)

Die Lösung ist also in diesem Beispiel nicht eindeutig, sondern einparametrig:

IV:

I:

Normalerweise ersetzt man die wählbaren x_i extra durch andere Buchstaben, um die Abhängigheit

besser (schöner?) darstellen zu können. (Das ist aber eher eine Angelegenheit der Ästhetik.)

Unlösbare LGS mit dem Additionsverfahren (mit Gauß)

Bsp.:

I

II

III

I

II - 2I:

IV

III - I:

V

V ist eine immer falsche Aussage. Also kann man keine Lösung für dieses Gleichungssystem finden.

L = { }