E.Lehmann 15.2.2001                                                Newton-Geschichte-Verfahren.doc

 

Tangentenverfahren (Newtonsche Näherung)

Isaac  Newton

Geboren:     4. Januar 1643

Gestorben: 20./21. März 1727

Newton war der jüngste Sohn eines Gutspächters, er studierte von 1661 an in Cambridge Philosophie, dann seit 1664 bei BARROW Mathematik; dessen Vorlesungen hört er insbesondere von 1664 bis 1666. Er wird von seinem Lehrer bald zu wissenschaftlichen Arbeiten herangezogen. Newton tritt 1669 Barrows Nachfolge in der Cambridger Professur an; im Jahre 1669 folgt er einem Ruf nach London in den Staatsdienst als Königlicher Münzmeister. Bereits seit 1672  Mitglied der Royal Society, wird er 1703 auf Lebzeiten ihr Präsident.

Die wichtigste Werke

1. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (1669)

2. Methode of Fluxions (1671)

3. Philosophiae naturalis principia mathematica (1687)

4. Arithmetica universalis (1707)

Das Tangentenverfahren



Newton einer der Väter der Differential- und Integralrechnung entwickelte eine Näherungsverfahren für die Lösung von Polynomgleichungen, Als Beispiel verwendete er folgendes Polynom:

Sein Verfahren veröffentlichte er in der "De analysi per aequationes numero terminorum infinitas"

 

 

Heute wird das von Newton entwickelte Verfahren zur Nullstellenbestimmung beliebig komplizierter Funktionen verwendet. Es erfüllt die üblicherweise geforderten Bedingungen für die Nullstellenermittlung von Funktionen:

1.        Das Verfahren soll unkompliziert sein.

2.        Eine Nullstelle muß mit jeder geforderten Genauigkeit berechenbar sein.

3.        Das Verfahren soll einfach programmierbar sei.
 

 

 

 

 
 

 
 

 
 

 
 
Mathematische Herleitung:

Beim Näherungsverfahren nach Newton wird angenommen, daß x0 eine Annäherung an die Lösung der Gleichung  f(x) = 0  ist. Man findet im allgemeinen einen besseren Wert x1 für  die Lösung der Gleichung           f(x) = 0, in dem man im Punkt  des Graphen der Funktion f  die Tangente zeichnet.  Der Abzissenwert  des Schnittpunktes der Tangente mit der x-Achse ist dann der gesuchte x1-Wert (siehe Skizze).

Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P:  

 

 

Mit ergibt sich:

 

Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist  und  daraus folgt:

 

 

 

Auflösen nach  ergibt den verbesserten Wert der Lösung:

 

 

 

 

Nach n Schritten folgt für den verbesserten Wert  :

 

 

 


Gültigkeit des Newtonschen Näherungsverfahren:

Bei der Anwendung des Newtonschen Näherungsverfahren ist darauf zu achten, daß die Tangente die x-Achse zwischen den Werten  und  schneidet. Dabei können folgende Fälle auftreten:

 

Abbildungen aus: Funktionen im Reellen, Gößwein/Vogel, Verlag Handwerk und Technik, 6. Auflage, 1979

                              Seite 265-266.

Lokale Konvergenz des  Newtonschen Iterationsverfahen

Damit das Newtonschenäherungsverfahren nicht versagt muss das folgende Kriterium gelten:

( Siehe hierzu Taschenbuch der Mathematik, Bronstein * Semendjajew, B.G Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, Leipzig, 25. Auflage, 1991 Seite 744 - 745).

Newtonsches Verfahren:

Beachte:                               und

Berechnung von :

 

 

 

 

 

 

 

Konvergenz liegt vor, wenn gilt:

 

Diese Begindung muss in der Umgebung der Nullstelle gelten.


Falls  einfache Wurzel (Nullstelle) ist gilt:

 und

 

Daraus folgt:

 

bzw.:

 

Für den Starwert  muss  also gelten:

 

 

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