GS - 13.03.06 - AnwendganzratFkt_Rinne.mcd
Extremwertaufgabe "Grabenprofil"
- aus der Abschlussprüfungsaufgabe 2005/A2, Teil 2 für Techniker -
2.0 Eine Rinne soll aus drei gleichen Brettern bestehen, und ihr Querschnitt die symmetrische Form
wie in der Skizze haben. Die vorgegebene Breite jedes dieser Bretter wird mit b bezeichnet, h ist
die Höhe dieser Rinne und a der Winkel, den die seitlich angebrachten Bretter mit der Waage-
rechten einschließen.
Die von a abhängige Querschnittsfläche der Rinne wird mit A(a) bezeichnet. Dabei wird die Brett-
stärke vernachlässigt, und es gilt 0° < a < 90°.
Wähle:
b
b
h
a
b
s
2.1 Bestimmen Sie
und zeigen Sie, dass gilt:
Querschnittsfläche = Trapezfläche:
Gegenkathete im rechtwinkligen Dreieck:
Ankathete im rechtwinkligen Dreieck:
Zielfunktion = Trapzefläche :
Ableitung :
Mit der Substitution:
b2 ausklammern:
2.2 Ermitteln Sie unter Verwendung der Substitution
den Winkel a, für den der Querschnitt
und damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst groß werden.
Substitution : u = cos(a)
Resubstitution : cos(a) = u
relatives Maximum:
Flächenmaßzahl:
Vergleich mit den Randwerten:
Wegen
und
und da
das einzige Extrema der stetigen
und differenzierbaren Funktion
ist, liegt bei
ein absolutes Maximum vor.
Wähle für die Balkenlänge
:
Wähle den Neigungswinkel
:
Animieren von 0 bis 79, c = 10
momentanes Fassungsvermögen:
maximales Fassungsvermögen:
