MK 4.6.2003 DefStetigkeit.mcd
Definition der Stetigkeit
Def.: Eine Funktion y = f(x) mit D = [ a;b ] heißt stetig an der Stelle x0 € ] a;b[ , wenn gilt:
Die Funktion f heißt stetig in einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist.
Bemerkung:
Da für die Stetigkeit der Wert f(x0) existieren muss, kann nur für Werte aus der Definitionsmenge eine Aussage über Stetigkeit gemacht werden.
Da am Rand einer Definitionsmenge jeweils der linksseitige oder rechtsseitige Grenzwert nicht bestimmbar ist, spricht man am Rand von einseitiger Stetigkeit, wenn der bestimmbare Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen.
Insgesamt heißt eine Funktion stetig im Definitionsbereich, wenn sie am Rand einseitig stetig und sonst überall stetig ist.
Bsp.:
(1)
ist stetig in R
(2)
ist stetig in R
Es gilt
Also ist f stetig an der Stelle x0. Wenn x0 nun beliebig aus R war, gilt
genauso f ist stetig in ganz R.
(3)
ist stetig in R
(4)
ist stetig in R
(5)
ist stetig in R+0
( Stetig in ] 0; [, einseitig stetig bei 0 )
Satz:
Die Funktionen f und g seien stetig in einem Intervall. Dann ist auch h = f + - * / g stetig.
Für / muss gelten
Zum Beweis kann man die Grenzwertsätze verwenden.
Polynomfunktionen lassen sich mit den Operationen + - * und Konstanten und der Funktion f(x) = x bilden.
Folgerung: Polynomfunktionen sind stetig in R
Gebrochen-rationale Funktionen werden gebildet Polynomfunktion / Polynomfunktion.
Folgerung: Gebrochen-rationale Funktionen sind stetig in R \ { Nennernullstellen }
Stetigkeit anschaulich: Eine Funktion ist stetig, wenn sich ihr Graph ohne abzusetzen zeichnen lässt.