MK 5.7.2004 DeflueckenMA.mcd
Musteraufgaben zu Definitionslücken
(1)
Gegeben sei die Funktion .
(1.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(1.2) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Defintionslücken.
(1.3) Bestimmen Sie die Nullstellen.
(1.4) Wie könnte man bei diesem Funktionstyp also hebbare und nicht behebbare
Definitionslücken bestimmen?
(2)
Gegeben sei die Funktion .
(2.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(2.2) Bestimmen Sie die Nullstellen.
(2.3) Kürzen Sie den Funktionsterm soweit wie möglich.
(2.4) Welche Defintionslücken sind hebbar, welche nicht?
(2.5) Beheben Sie die Definitionslücken durch zusätzliche Definition.
für x < 1
(3)
Betrachten Sie die Funktion f3(x)=
{
für
mit k € R
(3.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(3.2) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Definitionslücken.
(3.3) Probieren Sie mit Geonext den Parameter k so zu bestimmen, dass an der Nahtstelle der Übergang
stetig wird.
(3.4) Weisen Sie die Stetigkeit für ihre Schätzung nach.
DeflueckenMA.gxt
Lösungen:
(1)
Gegeben sei die Funktion .
(1.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(1.2) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Defintionslücken.
(1.3) Bestimmen Sie die Nullstellen.
(1.4) Wie könnte man bei diesem Funktionstyp also hebbare und nicht behebbare
Definitionslücken bestimmen?
=> D = R \ { -2 ; 2 }
LS:
=
RS:
=>
Es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke.
LS:
=
RS:
=> Es handelt sich hier um eine nicht hebbare Definitionslücke, um eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle)
mit Vorzeichenwechsel.
Es gibt eine Nullstelle bei 4, einen Schnittpunkt
Die zweite Lösung, -2, ist keine Nullstelle, siehe D.
Offensichtlich heben sich Zählernullstelle und Nennernullstelle auf. Man könnte also von der Linearfaktorzerlegung der Funktion ausgehend soweit als möglich kürzen. Was als Nennernulstelle übrigbleibt, ergibt nicht hebbare Defintionslücken. Was als Nennernullstelle gekürzt wurde, ist hebbare Defintionlücke.
(2)
Gegeben sei die Funktion .
(2.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(2.2) Bestimmen Sie die Nullstellen.
(2.3) Kürzen Sie den Funktionsterm soweit wie möglich.
(2.4) Welche Defintionslücken sind hebbar, welche nicht?
(2.5) Beheben Sie die Definitionslücken durch zusätzliche Definition.
Finde
Poldiv:
=> D = R \ { -2 ; -1 ; 1 }
Finde
Poldiv:
=> L = { -2 ; 1 ; 3 }
=> Es gibt einen SP bei x = 3
Es gibt eine Polstelle mit VZW bei x = -1
und hebbare Definitionslücken bei x = -2 und x = 1
Man definiert die zusätzlichen Punkte ( -2 / 5 ) und ( 1 / -1 ).
f2(x) für x € R \ { -2 ; -1 ; 1 }
5 für x = -2
-1 für x = 1
fneu(x) =
= fn(x) mit D = R \ { -1 }
{
}
für x < 1
(3)
Betrachten Sie die Funktion f3(x)=
{
für
mit k € R
(3.1) Bestimmen Sie die Definitionsmenge.
(3.2) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Definitionslücken.
(3.3) Probieren Sie mit Geonext den Parameter k so zu bestimmen, dass an der Nahtstelle der Übergang
stetig wird.
(3.4) Weisen Sie die Stetigkeit für ihre Schätzung nach.
D = R \ { -1 }
LS:
RS:
An der Stelle x = -1 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
DeflueckenMA.gxt
Schätze k = 2.5
LS:
RS:
=> mit k = 2.5 ist f3(x) an der Nahtstelle x = 1 stetig.