MK 4.6.2003 SaetzeStetigkeit.mcd
Sätze über stetige Funktionen
Satz von der Beschränktheit
Wenn eine Funktion f in einem Intervall [ a; b] stetig ist, dann ist sie in diesem Intervall auch beschränkt:

Es gibt eine Zahl k R so, dass gilt für x [ a; b ]
Bsp.:
mit D = [2;3] ist stetig und beschränkt.
mit D = ]0;3] ist stetig aber unbeschränkt (Halboffenes Intervall!).
mit D = R \ {0} ist weder stetig in R noch beschränkt in D.
Extremwertsatz
Wenn eine Funktion f in einem Intervall [ a; b] stetig ist, dann hat sie in diesem Intervall auch einen kleinsten und größten Wert.
<---- größter Wert
<---- kleinster Wert
Zwischenwertsatz
Eine in einem Intervall [ a; b] stetige Funktion f mit den Funktionswerten f(a) und f(b) nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.
Nullstellensatz
Eine in einem Intervall [ a; b] stetige Funktion f mit Funktionswerten f(a) und f(b) mit unterschiedlichem Vorzeichen, , hat in ] a; b [ mindestens eine Nullstelle.
<---- f(b) ist positiv
<---- f(a) ist negativ
Ein Beispiel:
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge D = [ -8; 0.5 ],
also und .
Aufgabe:
1. Ist f stetig in D ?
2. Ist f beschränkt ?
3. Ermitteln Sie mit dem Programm GEONExT Schätzungen für einen absolut größten und kleinsten Wert.
4. Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal angenommen.
Gibt es Werte, die mehrmals angenommen werden?
5. Gilt ? Was bedeutet das?
6. Ermitteln Sie mit dem Programm GEONExT Schätzungen für die Nullstellen.
7. Ermitteln Sie bessere Näherungen für die Nullstellen mittels eines Bisektionsverfahrens mit einem
Tabellenkakulationsprogramm.
8. Ein Sekantenverfahren liefert schneller bessere Näherungen. Realisieren Sie das in Mathcad.
gtx/SaetzeStetigkeit.gxt
Lösungen:

1. Ist f stetig in D ? Da f eine Polynomfunktion ist, ist f stetig.

2. Ist f beschränkt ? Da f stetig ist, gilt der Satz von der Beschränktheit.

3. Ermitteln Sie mit dem Programm GEONExT Schätzungen für einen absolut größten und kleinsten Wert.
Kleinster Wert ca. -6.7 größter Wert ca. +4.9

4. Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal angenommen.
Gibt es Werte, die mehrmals angenommen werden?
5. Gilt ? Was bedeutet das? Es existiert mindestens eine Nullstelle in ] a; b [

6. Ermitteln Sie mit dem Programm GEONExT Schätzungen für die Nullstellen.


7. Ermitteln Sie bessere Näherungen für die Nullstellen mittels eines Bisektionsverfahrens mit einem
Tabellenkakulationsprogramm.
gtx/SaetzeStetigkeit.gxt
Programmieren Sie Abfragen der Form
WENN( f(links)*f(mitte)>=0, mitte, links)
WENN( f(mitte)*f(rechts)>=0, mitte, rechts)
8. Ein Sekantenverfahren liefert schneller bessere Näherungen. Realisieren Sie das in Mathcad.
Aus der Formelsammlung, S. 20 :
Aus der Formelsammlung, S. 20 :
Aus der Formelsammlung, S. 20 :
Und die Lösungen mit Mathcad dazu: