RS 1.2.2004 StetigkeitAlleSaetze.mcd
Sätze über gebietsweise stetige
Funktionen
Satz 1
Wenn eine stetige Funktion f an einer Stelle x0 positiv
ist, dann gibt es eine d-Umgebung
von x0, in der f
noch positiv ist.
Beweis:
Zu jeder noch so kleinen Toleranz e >
0, also z.
B. e = f(x0)/2
> 0, gibt es
eine
d -
Umgebung von x0 , so dass
für x
Ud(x0) auch
f(x)
Ue (f(x0)) ist,
also f(x) > 0 gilt.
Satz 2 (Nullstellensatz)
Ist f auf [a ; b]
IR
stetig und gilt f(a) < 0 < f(b) oder umgekehrt f(b) < 0 <
f(a), so
gibt es zwischen a und b mindestens eine
Nullstelle x0 der Funktion f.
Dieser Satz ist die Voraussetzung zur numerischen
Bestimmung von Nullstellen durch Intervallhalbierung oder
Vorzeichenvergleich.
Satz 3 Zwischenwertsatz
( von
Bolzano, 1781 - 1848, kath. Theologe, Philosoph, Mathematiker)
Eine in einem Intervall
[a ; b]
IR
stetige Funktion f nimmt jeden zwischen f(a) und f(b) gelegenen
Funktionswert c mindestens einmal an.
Beweis
f sei stetig auf [a; b],
und
die
Funktion g(x) = f(x) -c erfüllt die Voraussetzungen des Satzes 2.
Satz 4 Beschränktheitssatz
Ist die Definitionsmenge der stetigen Funktion f ein
abgeschlossenes Intervall, so ist auch die Wertemenge nach oben und
unten beschränkt, d.h. abgeschlossen.
Satz 5 Extremwertsatz ( von
Karl Weierstrass, 1815 - 1897 )
Ist die Definitionsmenge der stetigen Funktion f ein
abgeschlossenes Intervall, so hat die Wertemenge ein Maximum und ein
Minimum ( d.h. es gibt einen größten und einen
kleinsten Funktionswert).
(Beachte: Eine stetige Funktion hat keine
Unendlichkeitsstelle!)
Die folgenden Beispiele sollen zeigen, dass die
Sätze 4 und 5 nicht gelten, wenn die Voraussetzungen nicht
erfüllt sind.
Beispiel 1
Ist die Definitionmenge nicht abgeschlossen, dann
ist auch die Funktion nicht notwendigerweise beschränkt und hat
deshalb auch kein Maximum.
D(g) = ]0 ; 3[
W(g) = { y | y >1/3 }
Beispiel 2
Auch wenn die Funktion beschränkt sein
sollte, muss sie kein Maximum oder Minimum haben, wenn die
Definitionmenge nicht abgeschlossen ist.
D(h) = ]1 ; 3 [
W(h) = ]1 ; 3 [
Beispiel 3
Ist das
Intervall zwar abgeschlossen aber die Funktion k nicht stetig, so kann
unter
anderem folgendes passieren:
W(k) ist unbeschränkt, hat aber kein Extremum
D(k) = [0 ; 3 ]
W(k) = [
;
[
