RS 1.2.2004 StetigkeitAlleSaetze.mcd
Sätze über gebietsweise stetige Funktionen
Satz 1
Wenn eine stetige Funktion f an einer Stelle x0 positiv ist, dann gibt es eine d-Umgebung von x0, in der f noch positiv ist.
Beweis:
Zu jeder noch so kleinen Toleranz e > 0, also z. B. e = f(x0)/2 > 0, gibt es eine
d - Umgebung von x0 , so dass für x Ud(x0) auch f(x) Ue (f(x0)) ist, also f(x) > 0 gilt.
Satz 2 (Nullstellensatz)
Ist f auf [a ; b] IR stetig und gilt f(a) < 0 < f(b) oder umgekehrt f(b) < 0 < f(a), so
gibt es zwischen a und b mindestens eine Nullstelle x0 der Funktion f.
 
 
 

Dieser Satz ist die Voraussetzung zur numerischen Bestimmung von Nullstellen durch Intervallhalbierung oder Vorzeichenvergleich.
Satz 3 Zwischenwertsatz ( von Bolzano, 1781 - 1848, kath. Theologe, Philosoph, Mathematiker)
Eine in einem Intervall [a ; b] IR stetige Funktion f nimmt jeden zwischen f(a) und f(b) gelegenen Funktionswert c mindestens einmal an.
 
 

Beweis
f sei stetig auf [a; b], und
die Funktion g(x) = f(x) -c erfüllt die Voraussetzungen des Satzes 2.
Satz 4 Beschränktheitssatz
Ist die Definitionsmenge der stetigen Funktion f ein abgeschlossenes Intervall, so ist auch die Wertemenge nach oben und unten beschränkt, d.h. abgeschlossen.
Satz 5 Extremwertsatz ( von Karl Weierstrass, 1815 - 1897 )
Ist die Definitionsmenge der stetigen Funktion f ein abgeschlossenes Intervall, so hat die Wertemenge ein Maximum und ein Minimum ( d.h. es gibt einen größten und einen
kleinsten Funktionswert).
(Beachte: Eine stetige Funktion hat keine Unendlichkeitsstelle!)
Die folgenden Beispiele sollen zeigen, dass die Sätze 4 und 5 nicht gelten, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
Beispiel 1
Ist die Definitionmenge nicht abgeschlossen, dann ist auch die Funktion nicht notwendigerweise beschränkt und hat deshalb auch kein Maximum.
D(g) = ]0 ; 3[
W(g) = { y | y >1/3 }
Beispiel 2
Auch wenn die Funktion beschränkt sein sollte, muss sie kein Maximum oder Minimum haben, wenn die Definitionmenge nicht abgeschlossen ist.
D(h) = ]1 ; 3 [
W(h) = ]1 ; 3 [
Beispiel 3
Ist das Intervall zwar abgeschlossen aber die Funktion k nicht stetig, so kann unter
anderem folgendes passieren:
W(k) ist unbeschränkt, hat aber kein Extremum
D(k) = [0 ; 3 ]
W(k) = [ ; [