MK 4.6.2003 DiffUmkehrfunktion.mcd
Differentiation der Umkehrfunktion
Satz:
Die Funktion f : sei in einem Intervall I differenzierbar und streng monoton. Es gebe auch keine waagrechten Tangenten ( ) in I. Dann existiert in I die Umkehrfunktion fu : und es
gilt für die Umkehrfunktion:
Beweis:
Kettenregel
Man kann also die Ableitung der Umkehrfunktion prinzipiell auf zwei Arten erhalten:
1. Bilde die Umkehrfunktion und leite ab.
2. Benutze den Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion.
Das 1. Verfahren ist normalerweise einfacher. Eine Ableitung einer Umkehrfunktion sollte mit obigem Satz nur dann berechnet werden, wenn die 1. Methode versagt.
Wir brauchen den Satz für die folgenden Ableitungen von Umkehrfunktionen:
Differentiation der ln-Funktion
für
Tausche x und y
Differenziere
mit
also
für
Daraus ergibt sich die Stammfunktion für :
für
für
insgesamt:
für
Allgemeine Exponetial- und Logarithmusfunktionen gesammelt:
mit a R+
Warum ist ex etwas Besonderes?
gtx/DiffUmkehrfunktion.gxt
mit a R+ \ { 1 }
Differentiation der arc-Funktionen
auch arcsin oder invsin oder sin-1
mit D = [ ; ]
mit D = [ -1 ; 1 ]
mit
also
analog:
mit D = [ ; ]
mit D = [ -1 ; 1 ]
mit D = ] ; [
mit D = ] -1 ; 1 [
sin und arcsin
cos und arccos
tan und arctan
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