MK 4.6.2003 DiffUmkehrfunktion.mcd
Differentiation der Umkehrfunktion
Satz:
Die Funktion f :
sei in einem Intervall I differenzierbar und streng monoton. Es gebe
auch keine waagrechten Tangenten (
)
in I. Dann existiert in I die Umkehrfunktion fu
:
und es
gilt für die Umkehrfunktion:
Beweis:
Kettenregel
Man kann also die Ableitung der Umkehrfunktion
prinzipiell auf zwei Arten erhalten:
1. Bilde die Umkehrfunktion und leite ab.
2. Benutze den Satz zur Ableitung der
Umkehrfunktion.
Das 1. Verfahren ist normalerweise einfacher. Eine
Ableitung einer Umkehrfunktion sollte mit obigem Satz nur dann
berechnet werden, wenn die 1. Methode versagt.
Wir brauchen den Satz für die folgenden
Ableitungen von Umkehrfunktionen:
Differentiation der ln-Funktion
für
Tausche x und y
Differenziere
mit
also
für
Daraus ergibt sich die Stammfunktion für
:
für
für
insgesamt:
für
Allgemeine Exponetial- und Logarithmusfunktionen
gesammelt:
mit a
R+
Warum ist ex etwas Besonderes?
mit a
R+ \
{ 1 }
Differentiation der arc-Funktionen
auch arcsin oder invsin oder sin-1
mit D = [
;
]
mit D = [ -1 ; 1 ]
mit
also
analog:
mit D = [
;
]
mit D = [ -1 ; 1 ]
mit D = ]
;
[
mit D = ] -1 ; 1 [
sin
und arcsin
cos
und arccos
tan
und arctan