MK 4.6.2003 Umkehrfunktion_Einf.mcd
Die Umkehrfunktion
Wir errechnen immer einen y-Wert aus einem vorgegebenen x-Wert. Könnte man nicht aus dem y-Wert auch auf den x-Wert schließen?
Man unterscheidet folgende Arten der Abbildungen:
Nur Bijektive Abbildungen sind umkehrbar eindeutig!
Satz:
Sei x --> f(x) eine bijektive Funktion. Dann existiert auch eine Umkehrfunktion y --> g(y) dazu.
Def.:
Man kann eine Umkehrfunktion von x --> f(x) mit x --> f -1(x) bezeichnen.
Verfahren:
(1) Tausche in der Funktionsgleichung y = f(x) die Variablen x und y aus.
(2) Löse wieder nach y auf.
Bsp.:
(1)
(2)
Also:
f -1(x)=2x-2
Konstruktive Vorgehensweise
Wie könnte man aus dem Graphen einer Funktion den Graphen der Umkehrfunktion konstruieren?
Starten Sie das Programm GEONExT und erzeugen Sie den Funktionsgraphen y = x^2 - 1.
Setzen Sie einen Gleiter A auf die Kurve.
Erzeugen Sie einen xy-Punkt B mit x = Y(A) und y = X(A).
Stellen Sie den Spurmodus für B ein.
Was entsteht?

Probieren Sie weitere Funktionen aus.
Umkehrfunktion2.gxt
Eine mögliche Lösung:
Fügen Sie die 1. Winkelhalbierende in die Zeichnung ein.
Haben Sie nun eine Idee?
Umkehrfunktion3.gxt
Eine mögliche Lösung:
Man erhält den Bildpunkt, indem man x und y vertauscht. Also muss man einen Punkt an y = x (1. Winkelhalbierende) spiegeln.

Konstruieren Sie mit GEONExT die Achsenspiegelung eines Kurvenpunktes an y = x.
Umkehrfunktion4.gxt
Eine mögliche Lösung: