EL / GS -23.08.05 - b2_quadUngl.mcd
Quadratische Ungleichungen
Definition:
Eine quadratische Ungleichung hat die Form bzw.
mit a, b, c IR und .
Bestimmung der Lösungsmenge:
(1) Bestimme die Lösungen x1 und x2 der Gleichung .
(2) Faktorisiere den quadratischen Term:
(3) Algebraische Lösung:
Das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind.
Das Produkt ist negativ, wenn beide Faktoren verschiedenes Vorzeichen haben.

(4) Graphische Lösung:
Definiere einen Funktionsterm
.
Suche die Nullstellen und faktorisiere damit den Funktionsterm .
Zeichne den Graphen mit Hilfe der Nullstellen und der Kenntnis des Vorzeichens von a:
Für ist die Parabel nach oben geöffnet, für ist sie nach unten geöffnet.
Die Ungleichung ist positiv, wenn der Graph oberhalb der x-Achse verläuft und sie ist
negativ, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft.
Bemerkung:
Eine quadr. Ungleichung der Form bzw.
mit a, b, c IR und , wobei T(x) konstant, linear oder quadratisch sein kann, wird in die
Normalform   
bzw. gebracht.
Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung einer geeigneten Funktion.
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Gleichung:
Faktorisieren:
durch Faktorisierung, ergibt
Lösung:
IL = ] ; 2 [ È ] 4 ; ¥ [
Teilaufgabe b)
Parabel:
Frage: Wo verläuft der Graph oberhalb der x-Achse.
Nullstellen:
Die Parabel hat zwei einfache Nullstellen NS1(2 / 0) und NS2(4 / 0) und ist nach oben geöffnet.
Graphische Lösung der Unleichung:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung einer geeigneten Funktion.
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Gleichung:
Faktorisieren:
durch Faktorisierung, ergibt
Lösung:
IL = ] 2 ; 4 [
Teilaufgabe b)
Parabel:
Frage: Wo verläuft der Graph oberhalb der x-Achse.
Nullstellen:
Die Parabel hat zwei einfache Nullstellen NS1(2 / 0) und NS2(4 / 0) und ist nach unten geöffnet.
Graphische Lösung der Unleichung:
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung einer geeigneten Funktion.
Teilaufgabe a)
ID = IR
Ungleichung:
Gleichung:
Faktorisieren:
durch Faktorisierung, ergibt
Lösung:
IL = ] ; 2 ] È [ 3 ; ¥ [
Teilaufgabe b)
Parabel:
Frage: Wo schneidet der Graph die x-Achse bzw. wo verläuft er unterhalb?
Nullstellen:
Die Parabel hat zwei einfache Nullstellen NS1(2 / 0) und NS2(3 / 0) und ist nach unten geöffnet.
Graphische Lösung der Gleichung mit Unleichung:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Linke Seite:
Rechte Seite:
Normalform:
Lösungsmenge:
IL = ] ; 0 [ È ] 2 ; ¥ [
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Frage: Wo schneidet der Graph die x-Achse bzw. wo verläuft er unterhalb?
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Ungleichung:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Linke Seite:
Rechte Seite:
Normalform:
Lösungsmenge:
IL = ] ; 1 [ È ] 3 ; ¥ [
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Frage: Wo liegt die Parabel p über der Geraden g?
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Ungleichung:
Aufgabe 6:
a) Bestimmen Sie von der gegebenen Ungleichung die maximale Definitions- und die Lösungsmenge.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Linke Seite:
Rechte Seite:
Normalform:
Lösungsmenge:
IL = ] ; 1 [
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Differenzfunktion:
Frage: Wo sind die Funktionswerte der Parabel 1 unter denen der Parabel 2?
Bestimme diejenigen x-Werte, für die gilt:
Graphische Lösung der Ungleichung: