GS - 23.08.05 - h2_Betragsungl.mcd

Betragsungleichungen

Definition:

Betrag einer Zahl:


Betrag eines Terms:

Anschaulich kann man unter die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.

Anschaulich kann man unter den Abstand zwischen den Zahlen a und b verstehen.

Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe
einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder
Ungleichung gelöst werden kann.    

Es gilt:

Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.

Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Unleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = {x I }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen der beiden Beträge. Lösen der linearen Ungleichung mit Fallunter-
              scheidung          .

Lösung:

1. Fall:

und

IL₁ = { }

2. Fall:

und

IL₂ = { }

3. Fall:

und

IL₃ = { }

4. Fall:

und

IL = IL₁ IL₂ IL₃ = { }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR \ { }

Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der Bruchungleichuneg mit Fallunterscheidung.

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { x I }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

Aufgabe 6:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen

Teilaufgabe a)

Ungleichung:

ID = IR

Lösungsweg: Auflösen des Betrags mit Fallunterscheidung. Lösen der quadratischen
              Ungleichungen.
                                  

Lösung:

1. Fall:

IL₁ = { x I }

2. Fall:

IL₂ = { }

IL = IL₁ IL₂ = { x I }

Teilaufgabe b)

Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:

Linke Funktion:

Rechte Funktion:

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