GS - 23.08.05 - h2_Betragsungl.mcd
Betragsungleichungen
Definition:

Betrag einer Zahl:


Betrag eines Terms:
Anschaulich kann man unter die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.
Anschaulich kann man unter den Abstand zwischen den Zahlen a und b verstehen.
Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe
einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder
Ungleichung gelöst werden kann.    

Es gilt:


Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten.
Aufgabe 1:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Unleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.
Lösung:
1. Fall:
IL1 = { }
2. Fall:
IL2 = { }
IL = IL1 IL2 = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Aufgabe 2:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.
Lösung:
1. Fall:
IL1 = { }
2. Fall:
IL2 = { }
IL = IL1 IL2 = {x I }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Aufgabe 3:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung.
Lösung:
1. Fall:
IL1 = { }
2. Fall:
IL2 = { }
IL = IL1 IL2 = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Aufgabe 4:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen der beiden Beträge. Lösen der linearen Ungleichung mit Fallunter-
              scheidung         
.
Lösung:
1. Fall:
und
IL1 = { }
2. Fall:
und
IL2 = { }
3. Fall:
und
IL3 = { }
4. Fall:
und
IL = IL1 IL2 IL3 = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR \ { }
Lösungsweg: Auflösen des Betrags. Lösen der Bruchungleichuneg mit Fallunterscheidung.
Lösung:
1. Fall:
IL1 = { x I }
2. Fall:
IL2 = { }
IL = IL1 IL2 = { }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion:
Aufgabe 6:
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichung in der Grundmenge IR.
b) Veranschaulichen Sie die Ermittlung der Lösungsmenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von
Funktionen
Teilaufgabe a)
Ungleichung:
ID = IR
Lösungsweg: Auflösen des Betrags mit Fallunterscheidung. Lösen der quadratischen
              Ungleichungen.
                                  
Lösung:
1. Fall:
IL1 = { x I }
2. Fall:
IL2 = { }
IL = IL1 IL2 = { x I }
Teilaufgabe b)
Darstellung der Ungleichung mit Funktionen:
Linke Funktion:
Rechte Funktion: