GS - 16.05.04 - PiBer_Reihen.mcd
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Berechnung von Pi
Zahlenwert:
Historisches:
Archimedes (285 v. Chr.)
Bedeutendster griechischer
Mathematiker und Physiker.
Merkvers:
Wie, o dies p
Macht ernstlich so vielen viele Müh'!
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!
Das Quadraturproblem des Kreises läuft im Wesentlichen auf die Bestimmung der Zahl p hinaus, also jener Zahl, die das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises angibt.
Archimedes
unternahm den ersten wissenschaftlich ernst zu nehmenden Versuch zu genauen Bestimmung von p zu p = 3,14.

Klassische Methode zur Berechnung:

einbeschriebenes regelmäßiges n-Eck < Kreisumfang < umbeschriebenes regelmäßiges n-Eck

Das Verhältnis des Kreisumfanges zu seinem Durchmesser ist größer als und kleiner als .
Berechnung über eine Reihenentwicklung:
Geschichte der Kreiszahl p

Ptolemaios: p = 3,1416
Um 480 vom Chinesen Tsu Chung-Chih:
Um 510 Aryabhatiya:
1150 Bhaskara:
1220 Fibonacci:
Um 1430 Al-Kashi:
Tycho de Brahe:
1579 Viète:
1610 Ludolph van Ceulen: p (Ludolph'sche Zahl)mit 35 Stellen
1630 Grienberger: und -1<x<1
1699 Sharp: Dieselbe Reihenentwicklung, jedoch , d.h. 71 Dezimalstellen genau.
1706 Machin: 100 Dezimalstellen
1841William Rutherford: 152 Dezimalstellen
1844 Zacharias: 200 Dezimalstellen
1853 William Rutherford: 400 Dezimalstellen
1874 William Shanks: 707 Dezimalstellen
1966 Mit Rechenanlage: p mit einer halben Million Dezimastellen.
Praktischer Wert der Genauigkeit der Rechnung:

Um den Umfang eines Kreises auf 1 Millimeter genau zu erhalten, genügt eine Genauigkeit
von 5 Dezimalen, wenn der Radius maximal r = 50 Meter beträgt.

Beim Erdbahnradius rE = 6370 km genügen 11 Dezimalstellen.
Beim Abstand Erde-Sonne rES = 149,5 Millionen Kilometer genügen 15 Dezimalstellen.
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