GS - 16.05.04 - Zahlen6_KomplexeZahlen.mcd
Einführung komplexer Zahlen
1. Was ist eine komplexe Zahl?
Der Körper der komplexen Zahlen stellt eine Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen dar.
Einer der ersten Mathematiker, der dieser Frage nachging, war Leonhard Euler.
Leonhard Euler (15.4.1707 bis 18.9.1783)
Schweizer Mathematiker, Physiker und Astronom.
Er war einer der bedeutendsten Mathematiker des 18.
Jahrhunderts. Zahlreiche nach ihm benannten Formeln,
Sätze und Begriffe belegen seine Fruchtbarkeit auf nahe-
zu allen Gebieten der Mathematik und Teilbereichen der
Physik, insbesondere der analytischen Mechanik und
Himmelsmechanik. Er begründete die Variationsrechnung
und fand die reziproken Potenzsummen. Er arbeitete mit
Kettenbrüchen, komplexen Zahlen und Reihen sowie trigo-
nometrischen Differentiale und deren Integrale. Als Physi-
ker war er Mitbegründer der Hydrodynamik und der Theorie
des Kreisels.
2. Definition der komplexen Zahl
Die quadratische Gleichung x2 + 1 = 0 bzw. x2 = -1 besitzt im Körper der reellen Zahlen keine
Lösung, da die Quadrate reeller Zahlen immer positiv sind bzw. Quadratwurzeln aus negativen
Zahlen (z.B. (-1) 1/2 = Wurzel aus (-1)) nicht definiert sind.
Leonard Euler führte eine neue Zahl "i" ein, mit der dies möglich ist:
Er definiert:
i2 = - 1
imaginäre (lat. eingebildete) Zahl
Damit gilt: Die quadratische Gleichung x2 + a = 0 besitzt die Lösungen
und
Löst man nun die allgemeine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit b2 < 4ac nach
dem gleichen Schema, dann erhält man eine Lösung der Form x1/2 = d + e i :
Herleitung:
Darstellung der Lösung in der Menge der komplexen Zahlen:
wobei
Beispiel:
Im Rellen nicht lösbar:
Lösung im Komplexen:
Zahlen der "Bauart" d + ei bzw. d - ei werden als komplexe Zahlen bezeichnet.
Sie bestehen aus einem reellen Anteil (hier 2) und einem imaginären Anteil (hier 3i).
Fasst man nun den imaginären und den reellen Teil einer komplexen Zahl als Koordina-
ten eines Punktes P in der Zahlenebene auf, dann kann man jede komplexe Zahl in ein-
em Koordinatensystem abbilden: Man trägt den realen Teil an der x-Achse und den ima-
ginären Teil an der y-Achse an. Daher besteht die komplexe Zahl z aus einer reellen
Zahl x und aus einer imaginären Zahl iy:
Die Bildebene - die Menge der komplexen Zahlen im Koordinatensystem - heißt
Gaußsche Zahlenebene.
heißt Realteil von z
heißt Imaginärteil von z
Beispiel:
3. Darstellung in Normalform
P(x0;iy0)
Die komplexe Zahl z = x + yi ist in der x-y-Ebene als Punkt P mit den kartesischen
Koordinaten (x,yi) eindeutig bestimmt.
Dieser Punkt lässt sich aber auch eindeutig durch seine Polarkoordinaten r und f
beschreiben. Dabei ist r der Abstand des Punktes vom Nullpunkt und f der Winkel
zwischen der x-Achse und der Strecke [OP]
4. Darstellung in Polarkoordinaten
P(r;f)
r
sin(f)
f
cos(f)
daraus lässt sich erkennen:
mit
ergibt dies:
Bezeichnungen:
heißt Betrag von z
heißt Argument von z
heißen Polarkoordinaten von P
