MK 4.6.2003 AbstandPE_HNF.mcd
Die HNF ist im Lehrplan nicht mehr enthalten
Abstand Punkt - Ebene - Hesse-Normalenform
Problem:
Berechne den kürzesten Abstand eines Punktes P
von einer Ebene E.
E:
Kürzester Abstand:
Projektionspunkt Q
=
+ n und c zeigen grob in die gleiche Richtung
- n und c sind grob entgegengesetzt
Also:
=
=
Abstand Punkt-Ebene:
Def.:
Falls
heißt
eine Ebenengleichung
Hesse-Normalenform.
Satz:
Man erhält den Abstand
eines
Punktes P von der Ebene E:
, indem
man die Ebene in die Hesse-Form
bringt
und den Ortsvektor p von P in die Gleichung einsetzt:
Ist c>0 , so liegen P und Ursprung auf
verschieden Seiten der Ebene,
ist c<0 , so liegen P und der Ursprung im
gleichen Halbraum.
Bemerkung:
Erhält man beim Überprüfen der
Hesse-Form
, so
nimmt man einfach einen neuen Normalenvektor
Bsp.:
P1( 5 / 2 / -3 )
P2( 4 / 1 / 2 )
E:
(1) Normalenform
(2) Probe auf HNF
also
(3) HNF
(4a) P1 einsetzen
P1 liegt in E.
(4b) P2 einsetzen
P2 und der Ursprung liegen auf der gleichen Seite
von E, der Abstand beträgt
