Wie liegen die Ebenen E1 und E2 zueinander?
Die Ebenen liegen in Normalen- oder Koordinatenform vor. Falls eine Ebene in Parameterform vorliegt, wird die entsprechende Ebene in Normalenform umgewandelt.
Es existieren drei Fälle:
1. Fall: Die Ebenen schneiden sich
2. Fall: Die Ebenen sind echt parallel
3. Fall: Die Ebenen sind identisch (ohne Bild)
Falls eine Ebene in Koordinatenform vorliegt nv ablesen:
Fall 1 Nein: E1 schneidet E2
Fall 2 Ja: E1 || E2 Prüfe: Liegt der Aufpunkt der einen in der anderen?
(2.1) Ja: beide identisch
(2.2) Nein: sie sind echt parallel
Fall 2 genauer betrachtet (wie wird geprüft?):
Wenn ein Aufpunkt vorliegt, also wenn nicht beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, setzen Sie den Aufpunkt in die andere Gleichung ein. Erhalten Sie eine wahre Aussage, liegt der Aufpunkt in der anderen Ebene. Dann sind beide identisch. Keine wahre Aussage: echt parallel.
Wenn beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, muss eine Gleichung ein Vielfaches der anderen sein.
Beispiel: E1: und E2:
und E3
E1
Das ist E2 , aber nicht E3
E1 und E2 sind identsch, E1 und E3 echt parallel
Beispiel: Untersuchen Sie die Lage von E1 zu den anderen Ebenen.
Normalenvektor von E1 berechnen:
Normalenvektor von E3 ablesen:
Normalenvektor von E4 ablesen:
Widerspruch von der 1. zur 2. Zeile
Die Normalenvektoren sind nicht ||
Die Ebene E1 schneidet die Ebene E2
Prüfe
Die Normalenvektoren sind ||
Die Ebene E1 ist parallel zur Ebene E3
Setzen Sie den Aufpunkt von E1 in die Gleichung von E3 ein:
Wahre Aussage
Die Ebenen E1 und E3 sind identisch
Die Normalenvektoren sind ||
Die Ebene E1 ist echt parallel zur Ebene E4
Prüfe
Setzen Sie den Aufpunkt von E1 in die Gleichung von E4 ein:
Falsche Aussage
Die Ebenen E1 und E4 sind echt parallel