MK 29.2.2012 LageEE.mcd

Lage Ebene - Ebene

Problem:

Wie liegen die Ebenen E1 und E2 zueinander?

Die Ebenen liegen in Normalen- oder Koordinatenform vor. Falls eine Ebene in Parameterform vorliegt, wird die entsprechende Ebene in Normalenform umgewandelt.

Gegeben:

Ebene E1:

Ebene E2:

Normalenform

oder

oder

Es existieren drei Fälle:

1. Fall: Die Ebenen schneiden sich

2. Fall: Die Ebenen sind echt parallel

3. Fall: Die Ebenen sind identisch (ohne Bild)

Vorgehensweise:

Falls eine Ebene in Koordinatenform vorliegt nv ablesen:

Ist E1 || E2? Prüfe: || ? Gilt also ?

Fall 1 Nein: E1 schneidet E2

Fall 2 Ja: E1 || E2 Prüfe: Liegt der Aufpunkt der einen in der anderen?

(2.1) Ja: beide identisch

(2.2) Nein: sie sind echt parallel

Fall 2 genauer betrachtet (wie wird geprüft?):

Wenn ein Aufpunkt vorliegt, also wenn nicht beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, setzen Sie den Aufpunkt in die andere Gleichung ein. Erhalten Sie eine wahre Aussage, liegt der Aufpunkt in der anderen Ebene. Dann sind beide identisch. Keine wahre Aussage: echt parallel.

Wenn beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, muss eine Gleichung ein Vielfaches der anderen sein.

Beispiel: E1: und E2:

und E3

E1

Das ist E2 , aber nicht E3

E1 und E2 sind identsch, E1 und E3 echt parallel

Beispiel: Untersuchen Sie die Lage von E1 zu den anderen Ebenen.

E1:

E2:

E3:

E4:

Normalenvektor von E1 berechnen:

Normalenvektor von E3 ablesen:

Normalenvektor von E4 ablesen:

Widerspruch von der 1. zur 2. Zeile

Die Normalenvektoren sind nicht ||

Die Ebene E1 schneidet die Ebene E2

Prüfe

Die Normalenvektoren sind ||

Die Ebene E1 ist parallel zur Ebene E3

Prüfe 3

Setzen Sie den Aufpunkt von E1 in die Gleichung von E3 ein:

Wahre Aussage

Die Ebenen E1 und E3 sind identisch

Die Normalenvektoren sind ||

Die Ebene E1 ist echt parallel zur Ebene E4

Prüfe

Setzen Sie den Aufpunkt von E1 in die Gleichung von E4 ein:

Falsche Aussage

Die Ebenen E1 und E4 sind echt parallel

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