MK 29.2.2012 LageEEE.mcd

Lage dreier Ebenen (Koordinatenform) zueinander

Problem:

Wie liegen die drei Ebenen E1, E2 und E3 zueinander?

Alle drei Ebenen sind in Koordinatenform gegeben (wenn nicht - umwandeln!):

Gegeben:

Diese Werte dürfen Sie ändern

E1:

E2:

E3:

Also:

Vorgehensweise:

(Für jeweils zwei Ebenen zueinander, hier E1 zu E2)

Sind die Normalenvektoren parallel?

Prüfe:

Ja: E1 || E2

Ist eine Gleichung ein Vielfaches der anderen (man muss nur noch die ai prüfen)?

Prüfe:

Ist es das gleiche δ ?

Ja: E1, E2 sind identisch.

Nein: E1, E2 sind echt parallel.

Nein: E1 schneidet E2, es existiert eine Schnittgerade:

g:

Das müssen Sie mit E1 und E3 sowie mit E2 und E3 wiederholen!

Gemeinsame Punkte:

Genau einen gemeinsamen Punkt haben die Ebenen, wenn keine Parallelitäten zu verzeichnen sind.

Eine gemeinsame Gerade haben die Ebenen, wenn zwei Ebenen identisch sind und die dritte nicht parallel

zu den beiden ist, oder sich paarweise in der gleichen Geraden schneiden.

Eine gemeinsame Ebene haben sie, wenn sie alle drei identisch sind.

Alle anderen Fälle produzieren keine gemeinsamen Punkte:

- Mindestens zwei Ebenen sind echt parallel

- Mindestens zwei Schnittgeraden sind echt parallel

Unser Beispiel:

(1) Lage E1 zu E2:

Für Ebenen, die nicht parallel sind, wird hier die Schnittgerade berechnet:

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden:

Suche einen gemeinsamen Punkt:

Damit ergibt sich die Schnittgerade:

Für Ebenen, die parallel sind, geht es hier weiter:

Ebenen, die parallel sind, können echt parallel (keine Punkte gemeinsam) oder identisch sein.

Ist die Gleichung der einen Ebene ein

Vielfaches der anderen Ebenengleichung?

(2) Lage E1 zu E3:

Für Ebenen, die nicht parallel sind, wird hier die Schnittgerade berechnet:

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden:

Suche einen gemeinsamen Punkt:

Damit ergibt sich die Schnittgerade:

Für Ebenen, die parallel sind, geht es hier weiter:

Ebenen, die parallel sind, können echt parallel (keine Punkte gemeinsam) oder identisch sein.

Ist die Gleichung der einen Ebene ein

Vielfaches der anderen Ebenengleichung?

(3) Lage E2 zu E3:

Für Ebenen, die nicht parallel sind, wird hier die Schnittgerade berechnet:

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden:

Suche einen gemeinsamen Punkt:

Damit ergibt sich die Schnittgerade:

Für Ebenen, die parallel sind, geht es hier weiter:

Ebenen, die parallel sind, können echt parallel (keine Punkte gemeinsam) oder identisch sein.

Ist die Gleichung der einen Ebene ein

Vielfaches der anderen Ebenengleichung?

Gemeinsame Punkte:

Sie bilden das Spatprodukt der Normalenvektoren aus den drei Ebenengleichungen.

Ergibt sich Null, so sind die Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig. Dann gibt es

keine gemeinsamen Punkte oder eine Schnittgerade oder die drei Ebenen sind identisch.

Ist das Spatprodukt nicht Null, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt.

Ausdehnung:

Ausdehnung:

Ebene E1

Gerade g12

Punkt P

Ausdehnungsfaktor:

Ebene E2

Gerade g13

Ebene E3

Gerade g23

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