MK 5.3.2012 LageKoordsys.mcd
Die besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem
Die Koordinatenachsen:
Alle Koordinatenachsen enthalten den Ursprung als Aufpunkt.
Die Einheitsvektoren der Achsen sind
die Richtungsvektoren der jeweiligen Koordinatenachse.
Beispiel
g2:
Die x2-Achse
Punkt auf einer Achse:
Immer wenn zwei Komponenten Null sind, liegt ein Punkt auf einer Achse.
liegt auf der x1-Achse
Die Koordinatenebenen:
Alle Koordinatenebenen enthalten den Ursprung als Aufpunkt.
In Parameterform sind zwei linear unabhängige Vektoren der jeweiligen
Ebene Richtungsvektoren, z. B.
und für die x1x2-Koordinatenebene.
Der andere Einheitsvektor ist dann
Normalenvektor der Ebene, z. B. ist
der Normalenvektor der x1x2-Koordinaten-
ebene.
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
x1x2-Koordinatenebene:
x1x3-Koordinatenebene:
x2x3-Koordinatenebene:
Punkt auf einer Ebene:
Immer wenn eine Komponente Null ist, liegt ein Punkt in einer Koordinatenebene.
liegt in der x1x2-Koordinatenebene
Problem:
Wie liegt die Gerade g im Koordinatensystem?
Gegeben:
Gerade g:
mit Aufpunktvektor und Richtungsvektor
Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenachse:
(Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu zwei Koordinatenachsen bzw senkrecht zu einer Koordinatenebene bzw. parallel zu zwei Koordinatenebenen)
Der Richtungsvektor von g liegt parallel zu einem der drei
Einheitsvektoren und senkrecht zu den anderen beiden.
Ist die Gerade g echt parallel, gehört der Ursprung nicht zu g.
Beispiele:
ist echt parallel zur x2-Koordinatenachse
ist identisch mit der x1-Koordinatenachse
Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenachse, wenn im Richtungsvektor von g zwei Nullen sind.
Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenebene:
(Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu einer Koordinatenachse bzw. senkrecht zu den zwei anderen Koordinatenebenen bzw parallel zu zwei Koordinatenachsen)
Der Richtungsvektor von g liegt in einer Koordinatenebene und senkrecht zu einem Einheitsvektor.
Ist die Gerade g echt parallel, liegt der Aufpunkt
nicht auf der Koordinatenebene.
ist echt parallel zur x1x2-Koordinatenebene
liegt in der x2x3-Koordinatenebene
Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Richtungsvektor von g eine Null ist.
Wie liegt die Ebene E im Koordinatensystem?
Die Ebene liegt in Normalen- oder Koordinatenform vor. Falls die Ebene in Parameterform vorliegt, wird die
Ebene in Normalenform umgewandelt.
Ebene E:
oder
Die Ebene liegt parallel zu einer Koordinatenebene:
Der Normalenvektor von E liegt parallel zu einem der drei
Ist die Ebene E echt parallel, gehört der Ursprung nicht
zu E.
ist echt parallel zur x2x3-Koordinatenebene
ist identisch mit der x2x3-Koordinatenebene
Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E zwei Nullen sind.
Die Ebene liegt senkrecht zu einer Koordinatenebene:
(Die Ebene liegt dann auch parallel zu einer Koordinatenachse)
Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem Einheitsvektor.
Ist die Ebene E echt parallel zu einer Koordinatenachse, gehört der Ursprung nicht zu E.
ist echt parallel zur x1-Koordinatenachse
ist parallel zur x3-Koordinatenachse,
enthält diese sogar
Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E eine Null ist.
Die Ebene halbiert einen (vier) Oktantanten (Winkelhalbierende Ebene):
Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem Einheitsvektor - wie beim vorigen Fall.
Die Ebene E enthält eine Koordinatenachse, also
gehört der Ursprung zu E.
halbiert die
x1x3-Koordinatenebene,
enthält die
x2-Koordinatenachse
x2x3-Koordinatenebene,
x1-Koordinatenachse
x1x2-Koordinatenebene,
x3-Koordinatenachse
halbiert nicht die
ist nur eine Parallelebene
und 
für die
x1x2-Koordinatenebene.
