MK 4.6.2003 Skalarprodukt.mcd
Das Skalarprodukt
Bisher:
mit r,
s, t
R
mit l
R; a,
b
V
Jetzt:
= ?
Vektor oder Skalar ? mit a, b
V
Axiomatische Definition
Sei
R mit a, b
V, es
gelten
(A1) c ist eindeutig
(A2) mit
gilt
(A3)
(Kommutativgesetz)
(A4)
(Distributivgesetz) mit a, b,
d
V
(A5)
(Gemischtes Assoziativgesetz) mit a, b
V; r
R
Bemerkung.
Die Multiplikationszeichen * bedeuten verschiedene
Operationen bei Axiom (A5):
r * (a *
b) = (r * a) *
b = a *
(r * b)
* Grundrechenart
* S-Multiplikation
* Skalarprodukt
Folgerungen
Satz:
Sei a || b. Dann gilt
=
Beweis:
und
=
je nach Orientierung von a
und b zueinander.
(
) =
=
Satz:
Es gilt
Beweis:
a || a und gleich orientiert. Also gilt
nach obigem Satz
(+ , da gleich orientiert)
Satz:
Es gilt
a senkrecht b
Beweis:
Vss.: a senkrecht b
Nach Pythagoras gilt:
Nach obigem Satz gilt:
und auch
Das Skalarprodukt:
Durchgehend:
Also:
Umgekehrte Beweiskette: aus
folgt senkrecht: ab=0 einfügen,
Skalarprodukt, Pythagoras, rechter Winkel.
Satz:
Beweis:
=
+
stehen
senkrecht aufeinander
+
=
