Monika Knobel 24.9.2004 ErgebnisZufExp.mcd

Ergebnisräume von Zufallsexperimenten

Einführung allgemeiner Grundbegriffe:

(1) (Zufalls)Experiment: Das ist ein Vorgang, dessen Ausgang vom Zufall abhängt, d.h. beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden und zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann.

(2) Versuch: Ein Versuch ist eine einmalige Durchführung eines Zufallsexperiments.

(3) (Zufalls)Ergebnis: Mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiment nennt man Ergebnisse. Bei einem Versuch tritt genau eines von vielen Ergebnissen ein.

(4) Ergebnisraum: Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments nennt man Ergebnisraum W. Jedes mögliche Ergebnis eines Experimentes erscheint genau einmal in W.

W = {w₁;w₂;w₃; ...; w _i; ...; w_n} mit i, n N

Bsp.1: Experiment: Werfen einer Münze
Versuch: Einmaliger Münzwurf

Ergebnisse: z: "Wurf zeigt Zahl"
k: "Wurf zeigt Kopf"
Ergebnisraum: W = {z;k}

Bsp.2: Experiment: Werfen eines Würfels
Versuch: Einmaliger Würfelwurf

Möchte man die möglichen Ergebnisse des Versuchs angeben bieten sich verschiedene Möglichkeiten.
z.B.:
Ergebnisse: w₁: "Augenzahl 1 erscheint"
w₂: "Augenzahl 2 erscheint"
w₃: "Augenzahl 3 erscheint"
w₄: "Augenzahl 4 erscheint"
w₅: "Augenzahl 5 erscheint"
w ₆: "Augenzahl 6 erscheint"
Ergebnisraum: W₁ = {w₁;w₂;w₃;w₄;w₅;w₆}

oder:
Ergebnisse: u: "ungerade Augenzahl erscheint"
g: "gerade Augenzahl erscheint"
Ergebnisraum: W₂ = {u;g}

Anmerkung: W₂ beschreibt einen gröberen Ergebnisraum als W₁.
Manche Aufgaben bieten mehrere mögliche Ergebnisräume als Lösung an. Wichtig ist es, dass jedem möglichen Versuchsausgang genau ein Ergebnis zugeordnet wird und sich die Ergebnisse nicht "überschneiden".

Aufgaben:

Einmaliges Werfen eines Würfels
Überprüfen Sie folgende Ergebnisräume auf ihre Richtigkeit:

(1) W₁ = {1;2;3;4;5;6;7} ; Anm.: 1: "Augenzahl 1 erscheint", 2: "Augenzahl 2 erscheint" ...

(2) W₂ = {T; N} ; Anm.: T: "Treffer, bzw. Augenzahl 6", N: "Niete, bzw. 'nicht' Augenzahl 6"

(3) W₃ = {1;3;5} ; Anm.: 1: "Augenzahl 1 erscheint" ... 5: "Augenzahl 5 erscheint"

(4) W₄ = {g;u;p} ; Anm.: g: "gerade Augenzahl", u: "ungerade Augenzahl", p: "Augenzahl ist eine Primzahl"

Lösungen:

Einmaliges Werfen eines Würfels
Überprüfen Sie folgende Ergebnisräume auf ihre Richtigkeit:

(1) W₁ = {1;2;3;4;5;6;7} ; Anm.: 1: "Augenzahl 1 erscheint", 2: "Augenzahl 2 erscheint" ...

Antwort: W₁ ist kein Ergebnisraum.
Begründung: Ein Würfel besteht aus sechs Seiten, sieben Ergebnisse wurden aber in den Ergebnisraum aufgenommen. Das Ergebnis 7: "Augenzahl 7 erscheint" existiert nicht.

(2) W₂ = {T; N} ; Anm.: T: "Treffer, bzw. Augenzahl 6", N: "Niete, bzw. 'nicht' Augenzahl 6"

Antwort: W₂ ist ein Ergebnisraum.
Begründung: Alle möglichen Ergebnisse eines Versuchs wurden im Ergebnisraum angegeben. Die Augenzahlen 1 bis 5 sind unter dem Ergebnis N: "Niete" zusammengefasst.

(3) W₃ = {1;3;5} ; Anm.: 1: "Augenzahl 1 erscheint" ... 5: "Augenzahl 5 erscheint"

Antwort: W₃ ist kein Ergebnisraum.
Begründung: Der Ergebnisraum 3 führt nicht alle Ergebnisse eines Würfelversuchs auf. Es fehlen die möglichen Ergebnisse beim Würfelversuch von Augenzahl 2, 4 und 6.

(4) W₄ = {g;u;p} ; Anm.: g: "gerade Augenzahl", u: "ungerade Augenzahl", p: "Augenzahl ist eine Primzahl"

Antwort: W₄ ist kein Ergebnisraum.
Begründung: Einige mögliche Versuchsausgänge werden zwei Ergebnissen zugeordnet. So ist z.B. Augenzahl 2 sowohl ein Ergebnis von g als auch von p. Ein mögliches Ergebnis darf aber im Ergebnisraum nur einmal vorkommen.

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