MK 25.2.2005 MassDarstZufall_i.mcd
Überblick: Maßzahlen und Darstellung von Zufallsgrößen
Zufallsgrößen
Def.:
Man kann jedem Ergebnis (oder Elementarereignis) w aus W eine reelle Zahl zuordnen. Eine Funktion, die das bewerkstelligt heißt Zufallsgröße.
X: w --> X(w) mit D = W.
0 wenn Zahl oben liegt
Bsp.:
Werfe eine Münze:
X: w --> {
1 wenn Wappen oben liegt
Bsp.:
Werfe einen Würfel:
X: w --> Anzahl der oben liegenden Augen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Def.:
Nimmt man die Zufallsgrößen und ordnet diesen Wahrscheinlichkeiten zu, so entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dazu kann z.B. eine Tabelle dienen
P: xi --> P(X=xi)
Bsp.:
Werfe einen gezinkten Würfel:
w
Werfe eine "1"   "2"   "3"   "4"   "5"   "6"
Ergebnis
X                        1     2      3     4      5     6
Zufallsgröße
P                      0.2  0.1   0.1   0.1   0.1   0.4
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 betragen.
Histogramm
Ein Histogramm stellt die Verteilung als Balkendiagramm dar.
Die dargestellte Fläche hat immer die Maßzahl 1.
Bsp.:
von oben
Der Modalwert
Der Wert M ist der Wert, der in einer Messreihe am häufigsten vorkommt.
Der Median
Der Wert Z ist der Wert, der eine geordnete Messreihe halbiert. Ist die Anzahl der Messwerte gerade, so nimmt man den Mittelwert der beiden "inneren" Messwerte.
Spannweite
Quartil
C25: 25% aller Messwerte(der Stichprobe) <= C25
C75: 75% aller Messwerte(der Stichprobe) <= C75
Arithmetisches Mittel
m: Anzahl der Werte
Der Erwartungswert
Def.:
Gegeben sei die Zufallsgröße X mit ihrer Wertemenge { x1, x2, .. xm } . Der Erwartungswert E(X) = m(x) = m
ist festgelegt durch E(X) = x1P(X=x1) +x2P(X=x2) + .. +xnP(X=xn)                                              nur 1 Zufallsg
m: Anzahl der Ereignisse
oder
mit W = { w1, ... wn } ,
mit Elementarereignissen
Varianz
Def.:
Gegeben sei die Zufallsgröße X mit ihrer Wertemenge { x1, x2, .. xm } und dem Erwartungswert E(X) = m.
Dann ist
die Varianz von X.
Standardabweichung
Def.:
Sätze zu E, Var, s :
falls X und Y unabhängig
Schätzwerte für m, s :
und
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