MK 25.2.2005 MassDarstZufall_i.mcd
Überblick: Maßzahlen und Darstellung von
Zufallsgrößen
Zufallsgrößen
Def.:
Man kann jedem Ergebnis (oder Elementarereignis) w
aus W
eine reelle Zahl zuordnen. Eine Funktion, die das bewerkstelligt
heißt Zufallsgröße.
X: w
--> X(w)
mit D = W.
0 wenn Zahl oben liegt
Bsp.:
Werfe eine Münze:
X: w
--> {
1 wenn Wappen oben liegt
Bsp.:
Werfe einen Würfel:
X: w
--> Anzahl der oben liegenden Augen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Def.:
Nimmt man die Zufallsgrößen und ordnet
diesen Wahrscheinlichkeiten zu, so entsteht eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dazu kann z.B. eine Tabelle dienen
P: xi --> P(X=xi)
Bsp.:
Werfe einen gezinkten Würfel:
w
Werfe eine "1" "2"
"3" "4" "5" "6"
Ergebnis
X
1 2 3 4
5 6
Zufallsgröße
P
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 betragen.
Histogramm
Ein Histogramm stellt die Verteilung als
Balkendiagramm dar.
Die dargestellte Fläche hat immer die
Maßzahl 1.
Bsp.:
von oben
Der Modalwert
Der Wert M ist der Wert, der in einer Messreihe am
häufigsten vorkommt.
Der Median
Der Wert Z ist der Wert, der eine geordnete
Messreihe halbiert. Ist die Anzahl der Messwerte gerade, so nimmt man
den Mittelwert der beiden "inneren" Messwerte.
Spannweite
Quartil
C25: 25% aller Messwerte(der
Stichprobe) <= C25
C75: 75% aller Messwerte(der
Stichprobe) <= C75
Arithmetisches Mittel
m: Anzahl der Werte
Der Erwartungswert
Def.:
Gegeben sei die Zufallsgröße X mit
ihrer Wertemenge { x1, x2, .. xm
} . Der Erwartungswert E(X) = m(x)
= m
ist festgelegt durch E(X) = x1P(X=x1)
+x2P(X=x2) + .. +xnP(X=xn)
nur 1 Zufallsg
m: Anzahl der Ereignisse
oder
mit W = { w1,
... wn
} ,
mit Elementarereignissen
Varianz
Def.:
Gegeben sei die Zufallsgröße X mit
ihrer Wertemenge { x1, x2, .. xm
} und dem Erwartungswert E(X) = m.
Dann ist
die Varianz von X.
Standardabweichung
Def.:
Sätze zu E, Var, s
:
falls X und Y unabhängig
Schätzwerte für m,
s
:
und