MK 27.9.2005 Wahrscheinlichkeit.mcd

Wahrscheinlichkeit

Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogorov)

Sei W ein Ergebnisraum eines Zufallsexperiments.
Falls die folgenden Axiome gelten, spricht man von der Funktion P(E) als Wahrscheinlichkeitsmaß:

(1)

für alle E W

Nichtnegativität

(2)

Normierung

(3)

P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)

Additionssatz

falls E1 E2 = { }

Folgerungen

Elementarereignisse { w_i } sind unvereinbar.

Also gilt P(E) = P({ w₁ }) + P({ w₂}) + .. + P({ w_n })
für E = { w₁ } { w₂} .. { w_n }

Analog:

und

+ P( {} ) = 1

=>

P( {} ) = 0

Daraus:

P(E) € [ 0; 1]

Def.:

Ist P({ w₁ }) = P({ w₂}) = .. = P({ w_n }) , so spricht man von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen.

Satz:

Wenn alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann gilt P({ w_i }) =

Wenn alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann gilt für das Ereignis E, das aus
g Elementarereignissen zusammengesetzt ist

Satz:

Klassische oder Laplace-Wahrscheinlichkeit

Für beliebig viele
Experimente:

Def.:

Gilt P( E1 E2 ) = P( E1 ) * P( E2 ) so sind die Ereignisse E1 und E2 stochstisch unabhängig.

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