Monika Knobel, MK 26.03.2005 EinseitigerTest.mcd
Binomialkoeffizient:
Beurteilende Statistik - Testen von Hypothesen
Einseitiger Test
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
Bsp.:
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
Eine Maschine in einer Glühbirnenfabrik stellt seit einiger Zeit eine erhöhte Anzahl defekter Glühbirnen her.
Normal produziert die Maschine 20% Ausschuss. Man vermutet nun einen höheren Anteil der Ausschussstücke.
Ein Testverfahren soll Klarheit schaffen. Man testet 100 Glühbirnen. Da eine neue Maschine oder Reparatur sehr teuer ist, will man das Risiko, die Maschine als nicht funktionsfähig einzustufen, sehr gering halten
(höchstenes 3%).
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
Einseitiger Test: Das Risiko 1. (oder 2.) Art ist gegeben. Man muss den Wert k der Entscheidungsregel
berechnen.
(1) Formulieren der Hypothese
H0: "Die Maschine produziert höchstens 20% Ausschuss."
H1: "Die Maschine produziert mehr als 20% Ausschuss."
(2) Entscheidungsregel
Der Wert k, der die Aufteilung in Annahme- und Ablehnungsbereich kennzeichnet, ist unbekannt. k bleibt als Variable.
X := "Anzahl der defekten Glühbirnen"
Entscheidung für H0
Entscheidung für H1
(3) Vier mögliche Fälle
Realität
Entscheidung aufgrund des Testverfahrens
H0 ist wahr
Annahme von H0
Ablehnung von H0
(p0 = 0.2)
richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art
H1 ist wahr
Ablehnung von H1
Annahme von H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art
richtige Entscheidung
(4) Das Risiko 1. Art (2. Art)
Man kann i.A. das Risiko 1. Art (2. Art) nicht exakt mit Hilfe der Bernoulligleichung berechnen. Aber man kann mit einem Tabellenwerk eine Lösung suchen.
Gegeben:
und Fehler 1. Art,
Gesucht:
k = ?
Tabelle:
Suche
<-- p = 0.98 bei k = 28
=> Wenn k>27 (d.h. die Anzahl der defekten Glühbirnen größer als 27) wird angenommen,
dass die Maschine kaputt ist.
(5) Eine Näherungsberechnung ?
Mit Hilfe der Näherungsformel von Moivre und Laplace kann man den Wert k abschätzen.
Die Gaußsche Dichtefunktion:
Näherungsformel von Moivre und Laplace: P(X = k)
mit
mit
und
RdF
