Mathias Ruß, MK 19.04.2007 Hypothesentest_Einf.mcd
Testen von Hypothesen - Einführung
Grundlagen
Eine statistische Gesamtheit also z.B. die Bevölkerung eines Staates, der Produktionsausstoß einer Maschine, der Inhalt einer Schraubenschachtel etc. kann Merkmale besitzen, deren Häufigkeitsverteilung nicht genau bekannt ist, über die man aber Vermutungen besitzt.
Durch Erhebung einer Stichprobe aus der Gesamtheit kann man mit relativ geringem Aufwand die Frage entscheiden, welche der verschiedenen unbewiesenen Vermutungen wohl zutreffend ist. Diese Vermutungen bezeichnet man auch als Hypothesen.
Allerdings kann ein solches Verfahren zum Prüfen von Hypothesen zu Fehleinschätzungen führen, da eine zufällige Stichprobe durchaus ein falsches Bild der tatsächlichen Verhältnisse liefern kann.
Definitionen und Erklärungen
Unter einer Hypothese versteht man eine unbewiesene Annahme oder Vermutung. In der Stochastik wird das bei einer Untersuchung gewonnene Stichprobenergebnis daraufhin untersucht, ob es einer vorgegebenen Hypothese entspricht oder widerspricht. Das zugehörige Entscheidungsverfahren heißt statistischer Test (Hypothesentest oder Signifikanztest).
Die zum Test vorgegebene Hypothese nennen wir Nullhypothese H0. Die Gegenhypothese wird mit H1 bezeichnet. Wir ordnen H0 mit Hilfe der Entscheidungsregel einen Annahmebereich A und einen Ablehnungsbereich aus dem Ergebnisraum W zu.
Bedingungen: A = W.
Die zugrunde liegende Verteilung sei hier eine Binomialverteilung.
Die Annahme oder Ablehnung der Hypothese ist mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit behaftet. Folgende Möglichkeiten können eintreten:
Das Resultat x der Stichprobe liegt im
Annahmebereich A
Ablehnungsbereich
Realität
H0 ist wahr (p0)
Annahme von H0
Ablehnung von H0
(richtige Entscheidung)
(falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a)
H1 ist wahr (p1)
Ablehnung von H1
Annahme von H1
(falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b)
(richtige Entscheidung)
Der Fehler 1. Art gibt folglich an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die in Wirklichkeit richtige Hypothese auf der Grundlage der gewählten Entscheidungsregel irrtümlich abgelehnt wird.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Fehler 1. Art eintritt, wird als Signifikanzniveau a bezeichnet.
Der Fehler 2. Art dagegen gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die in Wirklichkeit falsche Hypothese irrtümlich als zutreffend angenommen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Fehler 2. Art eintritt, wird oft mit b bezeichnet.
Bemerkung
Grundlage aller von uns durchgeführten Tests ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X. Je nach Vorgabe unterscheiden wir zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Signifikanztest. Der Unterschied liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0: Im Falle eines zusammenhängenden Ablehnungsbereichs
heißt der Test einseitig. Falls der Ablehnungsbereich aus zwei getrennten Bereichen besteht, heißt der Test zweiseitig.
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