Mathias Russ, MK 19.04.2007 Hypothesentest_Ueb_Ber.mcd
Binomialkoeffizient:
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
Testen von Hypothesen bei gegebenem Annahmebereich - Übungen
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
(1) Schulschwänzer
Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese). Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind.
Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist.
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
(2) Wahrsagerin
Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet?
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
(3) Waldsterben
Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt angesehen.
Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteils entscheidet.
Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I)
(4) Lerneifer
Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit „ja“ oder „nein“ beantworten kann und soll. Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt?
(5) Osterhasen
Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens) 20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind.
Wie groß ist das Herstellerrisiko?
Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen zerbrochen sind?
(6) Glücksrad
Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad „manipuliert“, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet, dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint.
Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden Hypothesentests an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet, obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II)
(1) Schulschwänzer
Von einem Schüler wird behauptet, dass er (mindestens) 40% der Unterrichtstage schwänzt (Nullhypothese). Um diese Vermutung zu bestätigen, werden 20 zufällig ausgewählte Tage überprüft. Die Nullhypothese wird angenommen, wenn mindestens 8 Fehltage dabei sind.
Berechnen Sie das Risiko dafür, dass der Schüler nicht als Schwänzer erkannt wird, obwohl er einer ist.
Nullhypothese H0: Der Schüler fehlt mindestens an 40% der Schultage
Testgröße: Anzahl der Fehltage
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(linksseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
Tafelwerk, S. 21
(2) Wahrsagerin
Eine Wahrsagerin behauptet, dass sie sich in (maximal) 5% ihrer Vorhersagen irrt (Nullhypothese). Sie überprüfen 50 Vorhersagen auf ihre Richtigkeit. Die Behauptung der Wahrsagerin wird als zutreffend angenommen, wenn höchstens 3 Vorhersagen falsch sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Wahrsagerin irrtümlich als Scharlatan bezeichnet?
Nullhypothese H0: Die Wahrsagerin irrt mit höchstens 5%.
Testgröße: Anzahl der unzutreffenden Vorhersagen
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(rechtsseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
Tafelwerk, S. 13
(3) Waldsterben
Vor einigen Jahren stellte man bei einer Zählung fest, dass in einem bestimmten Waldstück der Wildverbiss bei Fichten 20% beträgt. Bei einer aktuellen Waldbegehung kommt der Verdacht auf, dass sich dieser Schadensanteil vergrößert hat (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden 200 zufällig ausgewählte Fichten auf Wildverbiss untersucht. Sind hiervon mehr als 50 geschädigt, wird die Vermutung als bestätigt angesehen.
Geben Sie die Testgröße T, die Nullhypothese H0 und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese an. Bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man sich irrtümlich für eine Vergrößerung des Schadensanteils entscheidet.
Beschreiben Sie, worin hier der Fehler 2. Art besteht. (Quelle: AP 2003/S I)
Nullhypothese H0: Der Anteil der angeknabberten Fichten liegt bei höchstens 20%
Testgröße: Anzahl der gebissenen Bäume
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(rechtsseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
Tafelwerk, S. 19
ß bedeutet hier, dass man den Anstieg der Wildschäden nicht erkennt.
(4) Lerneifer
Einem Schüler werden in einer Prüfung 25 Fragen gestellt, die er mit „ja“ oder „nein“ beantworten kann und soll. Der Prüfer vermutet, dass der Schüler nicht vorbereitet ist und somit rät (Nullhypothese). Diese Vermutung wird verworfen, wenn der Schüler mehr als 15 richtige Antworten gibt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man den Schüler fälschlicherweise als eifrigen Lerner einschätzt?
Nullhypothese H0: Der Schüler rät die Antworten, er hat 50% richtige Antworten.
Testgröße: Anzahl der richtigen Antworten
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(rechtsseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
Tafelwerk, S. 27
(5) Osterhasen
Der Hersteller von Schokoladenosterhasen gewährt seinen Kunden keinen Preisnachlass, wenn (höchstens) 20% der gelieferten Hasen beschädigt sind (Nullhypothese). Hersteller und Kunde vereinbaren, 30 Hasen zu überprüfen. Es gibt einen Preisnachlass, wenn mehr als 8 Hasen zerbrochen sind.
Wie groß ist das Herstellerrisiko?
Wie groß ist das Risiko des Kunden, keinen Nachlass zu erhalten, obwohl tatsächlich 40% der Hasen zerbrochen sind?
Nullhypothese H0: Höchstens 20% der Schokohäschen sind unbrauchbar
Testgröße: Anzahl der zerbrochenen Hasen
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(rechtsseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
"Herstellerrisiko", der Hersteller zahlt grundlos.
Tafelwerk, S. 17
=
"Kundenrisiko" bei 40%
Ausschuss.
Tafelwerk, S. 22
(6) Glücksrad
Bei einem Kindergartenfest wird ein Glücksrad aufgestellt, das in acht gleichgroße Sektoren unterteilt ist. Einer dieser Sektoren ist blau eingefärbt. Ein Lausbub, der bereits bis 50 zählen kann, hat das Glücksrad „manipuliert“, indem er heimlich einen Kaugummi auf die Rückseite des blauen Sektors geklebt hat. Er vermutet, dass der blaue Sektor nun häufiger erscheint (Gegenhypothese). Dazu beobachtet er 50 Drehungen des Rades und glaubt, seine Vermutung bestätigen zu können, wenn dabei der blaue Sektor mehr als zehnmal erscheint.
Geben Sie die Testgröße, die Nullhypothese und die Gegenhypothese sowie die Art des vorliegenden Hypothesentests an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lausbub seine Vermutung als bestätigt betrachtet, obwohl das Rad durch den Kaugummi in Wirklichkeit nicht beeinflusst wird. (Quelle: AP 1999/S II)
Nullhypothese H0: Das Glücksrad zeigt "blau" mit der Wahrscheinlichkeit 12,5%
Testgröße: Anzahl der erdrehten blauen Sektoren
Stichprobenlänge
Entscheidungsregel
(rechtsseitiger Test)
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
H0
Annahme von H0, richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1. Art, a
H1
falsche Entscheidung, Fehler 2. Art, b
Annahme von H1, richtige Entscheidung
=
Tafelwerk, S. 13
