Monika Knobel 26.03.2005 Hypothesentest_i.mcd
Binomialkoeffizient:
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
Beurteilende Statistik - Testen von Hypothesen
Alternativtest
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
Bsp.:
Eine Fabrik liefert Schachteln mit Schrauben hoher Qualität ( 10% der Schrauben sind fehlerhaft ) und minderer Qualität ( 40% fehlerhaft ) an eine Baumarktkette.
Während des Ausladens geht bei einigen Verpackungen das Etikett ab. Da man nicht weiß, ob es sich um Schrauben 1. oder 2. Wahl handelt, muss ein Verfahren gefunden werden die Schrauben in kürzester Zeit der richtigen Qualität zuordnen zu können.
Weiter sei gegeben, dass sich in jeder Schachtel 300 Schrauben befinden.
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
Alternativtest: Man muss zwischen zwei Annahmen / Vermutungen / Hypothesen entscheiden.
(1) Formulieren der Hypothese
H0: "Die Schachtel ist hoher Qualität" Nullhypothese
H1: " Die Schachtel ist minderer Qualität" Alternative Hypothese
(2) Entscheidungsregel/ Prüfverfahren/ Test wird festgelegt
Da es zu zeitaufwendig wäre, alle 300 Schrauben zu untersuchen werden stattdessen nur 10 Schrauben zufällig aus der Schachtel entnommen und getestet.
Dabei legt man fest, dass wenn mehr als 3 Schrauben unbrauchbar sind, die gesamte Schachtel der 2. Wahl angehören muss.
X := "Anzahl der schlechten Schrauben"
: Die Schachtel ist guter Qualität
Entscheidung für H0, gegen H1
Annahmebereich für H0
: Die Schachtel ist minderer Qualität
Entscheidung für H1, gegen H0
Annahmebereich von H1, bzw.
Ablehnungs-/ kritischer Bereich von H0
(3) Mögliche Fälle beim Prüfen
Realität
Entscheidung aufgrund des Testverfahrens
H0 ist wahr (p0 = 0.1)
Annahme von H0
Ablehnung von H0
richtige Entscheidung
falsche Entscheidung, Fehler 1.Art
H1 ist wahr (p1 = 0.4)
Ablehnung von H1
Annahme von H1
falsche Entscheidung, Fehler 2.Art
richtige Entscheidung
Beim alternativen Test möchte man mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit die richtige Entscheidung treffen. Trotzdem können falsche Zuordnungen vorkommen, jedoch im möglichst geringen Maß.
Der Zufall spielt bei diesem Test eine große Rolle.
(4) Berechnung der Fehler 1.und 2. Art
Um zu erkennen, ob das vorgeschlagene Prüfverfahren sinnvoll ist berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine richtige bzw. fasche Entscheidung:
Man nimmt an, dass beim zufälligen herausnehmen der Schrauben sich der Anteil der kaputten Stücke nicht ändert.
Man berechnet die Fehler 1.Art ( = Irrtumswahrscheinlichkeit) und 2.Art ( = Risiko 2.Art) mit Hilfe einer Bernoullikette:
"Mindestens z Treffer"
"Höchstens z Treffer"
Fehler 1.Art:
P( X>3 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste gute Qualität enthält (d.h. H0 richtig ist), man sie aber dennoch ablehnt ist 1.28%. (Fehler 1. Art)
Fehler 2.Art:
P( X<4 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste 2. Wahl enthält ( d.h. H1 richtig ist), aber sie trotzdem ablehnt ist 38.23%.
Oder: Die Wahrscheinlichkeit, dass H0 falsch ist, man sie aber dennoch als richtig annimmt beträgt 38.23%.
Oder: Irrtümlicherweise hält man 38.23% der schlechten Schachteln für gut.
(5) Graphische Darstellung
Annahmebereich von H0,
richtige Entscheidung
Ablehnungsbereich von H0,
falsche Entscheidung
Ablehnungsbereich von H1,
falsche Entscheidung
Annahmebereich von H1,
richtige Entscheidung
(6) Korrektur der Fehler 1.und 2. Art
Bei der Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten ergibt sich für die Baumarktkette das Problem, dass der Fehler 2. Art zu groß ist, man fürchtet um den guten Ruf.
Ein Angestellter schlägt daher eine andere Entscheidungsregel vor: Wenn mehr als 2 Schrauben unbrauchbar sind, ist die gesamte Schachtel 2. Wahl.
Also:
1. Wahl-Schrauben
2. Wahl-Schrauben
Fehler 1.Art:
P( X>2 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste gute Qualität enthält (d.h. H0 richtig ist), man sie aber dennoch ablehnt ist 7.02%.
Fehler 2.Art:
P( X<=2 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste 2. Wahl enthält ( d.h. H1 richtig ist), aber sie trotzdem ablehnt ist 16.73%.
Oder: Die Wahrscheinlichkeit, dass H0 falsch ist, man sie aber dennoch als richtig annimmt beträgt 16.73%.
Oder: Irrtümlicherweise hält man 16.73% der schlechten Schachteln für gut.
Möchte man die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art senken, so reicht es, die Entscheidungsregel zu verändern.
Gleichzeitig wird jedoch immer der Fehler 1. Art erhöht.
Nachdem die Veränderung der Entscheidungsregel nicht den gewünschten Effekt erzielt, schlägt der Angestellte Schlau (ein Hobby-Mathematiker) vor, die Anzahl der zu prüfenden Schrauben auf 20 zu erhöhen.
Außerdem soll eine Schachtel Schrauben dann 2. Wahl sein, wenn mehr als 4 Schrauben defekt sind.
Also:
1. Wahl-Schrauben
2. Wahl-Schrauben
Fehler 1.Art:
P( X>4 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste gute Qualität enthält (d.h. H0 richtig ist), man sie aber dennoch ablehnt ist 4.32%.
Fehler 2.Art:
P( X<5 ) =
Analog:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste 2. Wahl enthält ( d.h. H1 richtig ist), aber sie trotzdem ablehnt ist 5.1%.
Oder: Die Wahrscheinlichkeit, dass H0 falsch ist, man sie aber dennoch als richtig annimmt beträgt 5.1%.
Oder: Irrtümlicherweise hält man 5.1% der schlechten Schachteln für gut.
Jetzt können alle Schachteln getestet werden!
