MK 22.3.2005 Bernoulli.mcd
Binomialkoeffizient:
Bernoulli-Experimente
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli:
n: Anzahl der Versuche
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer
k: Anzahl der Treffer
Def.:
Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment, wenn nur zwei Elementarereignisse möglich sind, sich der Ergebnisraum also in der Form
= { T; N }
" T = Treffer, N = Niete "
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:
darstellen lässt.
Dabei gilt: P(T) + P(N) =1, T und N stellen also Ereignis und Gegenereignis dar.
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:
Bsp.:
Werfe eine Münze:
= { W; Z }
Würfle:
= { eine 6; keine 6 }
Würfle:
= { gerade; ungerade }
Wetter:
= { schön; schlecht }
Jakob Bernoulli (1655-1705)
Bernoulli-Ketten:
Wenn man ein Bernoulli-Experiment mehrmals (n-mal) ausführt und damit einen neuen Ergebnisraum mit Paaren, Tripeln, usw. erzeugt, spricht man von einem n-stufigen Bernoulli-Experiment oder einer Bernoulli-Kette der Länge n
n
Ergebnisraum
= { T; N }
Bsp.:
Werfe eine Münze dreimal:
= { WWW; WWZ; WZW; WZZ; ZWW; ZWZ; ZZW; ZZZ }
Bsp.:
Ein Schüler erscheint mit der Wahrscheinlichkeit
pünktlich
und mit der Wahrscheinlichkeit
verspätet.
Wir betrachten den Unterrichtsbesuch über eine Woche hinweg:
= { ppppp; ppppv; pppvp; ... vvvvv}
Es gilt:
Satz:
Bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit der Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer und q = 1-p für eine Niete werden k Treffer mit der Wahrscheinlichkeit
Vergleiche: Binomische Formel
erzielt.
Bsp.: Mit welche Wahrscheinlichkeit erscheint der Schüler mindestens zwei Tage verspätet?
=
=
Bsp.:
Etwa 0.1% - 0.2% der Bevölkerung sind an HIV erkrankt, bei Risikogruppen (Homosexuelle, Bluter, Drogenabhängige) nimmt man 20% oder mehr an. Nehmen Sie zusätzlich an, dass die Infektiosität (anhängig von der sexuellen Praktik) zwischen 0.001 und 0.03 liegt (Schätzung).
Eine Person habe 10 mal ungeschützten Geschlechtsverkehr mit jeweils unbekannten Personen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Person mit HIV infiziert hat?
Wie oft muss eine Person mit anderen unbekannten Personen ungeschützt verkehren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% an HIV zu erkranken?
"Wahrsch. keine Infektion"
=>
"170-180 je Jahr in 40 Jahren"
Auf welchen Wert steigen die Wahrscheinlichkeiten, wenn sich die Person in einer Risikogruppe bewegt?
"Wahrsch. keine Infektion"
=>
Einen Person hat 10 mal ungeschützten Geschlechtsverkehr mit ihr unbekannten Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 HIV-Infizierte dabei waren?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn sich die Person als Drogenabhängiger im Milieu bewegt?
