Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von k ( ) Personen mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Ereignis A: "Mindestens 2 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag."
Gesucht: P(A) = ?
Wir bestimmen zunächst die Mächtigkeit des Ergebnisraumes W. Dazu denken wir
uns die 365 Tage eines Jahres durchnummeriert. Die Elemente von W sind dann k-Tupel, wobei an jeder Stelle des k-Tupels eine der 365 Zahlen steht.
b) Das Ereignis "mindestens 2 Geburtstage fallen zusammen" ist schwer zu erfassen.
Es können nämlich 2, 3 oder 4, usw. bis maximal k Personen sein, die am
gleichen Tag Geburtstag haben. Außerdem kann es auch mehrere Paare geben,
die am gleichen Tag Geburtstag haben.
Einfacher zu berechnen ist dagegen die Mächtigkeit des Gegenereignisses
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisse A ist abhängig von der Anzahl k der anwesenden Personen. Die Wahrscheinlichkeit ist somit eine Funktion von k: PA(k).
Da die Zahl ist, kann auch ein Computeralgebrasystem wie z. B. Mathcad, diese Formeln nicht mehr berechnen. Wir ersetzen deshalb einen Teil des Quotienten durch ein Produkt:
Ab 23 Personen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,
ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer
als 90% und
ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen
sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.
Jeder der s Schüler einer Klasse notiert sich eine Zahl zwischen 1 und 100.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens 2 Schüler die selbe Zahl
notiert haben?
Ereignis E: "Mindestens 2 Schüler haben sich die selbe Zahl notiert."
Gesucht: P(E) = ?
Die Herleitung der Lösungsformel geschieht völlig analog zu den bereits oben
gemachten Ausführungen. Wir erhalten:
Ab 13 Schülern haben sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 2 Schüler die selbe Zahl zwischen 1 und 100 notiert, usw. .