RS 1.2.2004 Geburtstagsproblem.mcd

Das Geburtstagsproblem

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von k ( ) Personen mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

Ereignis A: "Mindestens 2 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag."
Gesucht: P(A) = ?

Lösung:

Wir bestimmen zunächst die Mächtigkeit des Ergebnisraumes W. Dazu denken wir
uns die 365 Tage eines Jahres durchnummeriert. Die Elemente von W sind dann k-Tupel, wobei an jeder Stelle des k-Tupels eine der 365 Zahlen steht.

a) Die Anzahl aller k-Tupel aus der Menge der 365 Zahlen errechnet sich dann wie folgt:

(Beispiel Zahlenschloss)

b) Unter all diesen k-Tupeln sind viele bis auf die Reihenfolge der Zahlen identisch.
Die Reihenfolge ist aber für das Geburtstagsproblem unerheblich.
Für die Elemente eines k-Tupels gibt es k! Anordnungsmöglichkeiten.

c) Die Anzahl aller bis auf die Reihenfolge verschiedenen k-Tupel (d. h. die
Mächtigkeit von W) errechnet sich dann wie folgt:

d) Das Ereignis "mindestens 2 Geburtstage fallen zusammen" ist schwer zu erfassen.
Es können nämlich 2, 3 oder 4, usw. bis maximal k Personen sein, die am gleichen
Tag Geburtstag haben. Außerdem kann es auch mehrere Paare geben, die am
gleichen Tag Geburtstag haben.
Einfacher zu berechnen ist dagegen die Mächtigkeit des Gegenereignisses
= "alle Geburtstage der k Personen sind verschieden",
wobei die Reihenfolge der Geburtstage wieder unwichtig ist:

(Beispiel
Lotto "6 aus 49")

e) Nach Laplace ererechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wie folgt:

Wir kürzen diesen Bruchterm und erhalten:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisse A ist abhängig von der Anzahl k der anwesenden Personen. Die Wahrscheinlichkeit ist somit eine Funktion von k: P_A(k).

Da die Zahl ist, kann auch ein Computeralgebrasystem wie z. B. Mathcad, diese Formeln nicht mehr berechnen. Wir ersetzen deshalb einen Teil des Quotienten durch ein Produkt:

Für die Berechnung gilt:

Die Funktionsvorschrift lautet:

Ab 23 Personen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,
ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer als 90% und
ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Mit den folgenden Zeilen wird die Tabelle_1 programmiert, die alle berechneten Wahrscheinlichkeiten für maximal 70 Personen enthält.

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeit P_A(k)

(Für senkrechte und waagrechte Hilfslinien.)

Ein ähnliches Problem:

Jeder der s Schüler einer Klasse notiert sich eine Zahl zwischen 1 und 100.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens 2 Schüler die selbe Zahl
notiert haben?
Ereignis E: "Mindestens 2 Schüler haben sich die selbe Zahl notiert."
Gesucht: P(E) = ?

Lösung:

Die Herleitung der Lösungsformel geschieht völlig analog zu den bereits oben gemachten Ausführungen. Wir erhalten:

Ab 13 Schülern haben sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 2 Schüler die selbe Zahl zwischen
1 und 100 notiert, usw. .

(Für senkrechte und waagrechte Hilfslinien.)

Der folgenden Tabelle enthält alle oben graphisch dargestellten Wahrscheinlichkeiten
für maximal 35 Schüler: