RS 17.1.2010 Geburtstagsproblem.mcd

Das Geburtstagsproblem

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von k ( ) Personen mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?


Ereignis A: "Mindestens 2 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag."

Gesucht: P(A) = ?

Lösung:

Wir bestimmen zunächst die Mächtigkeit des Ergebnisraumes W. Dazu denken wir

uns die 365 Tage eines Jahres durchnummeriert. Die Elemente von W sind dann k-Tupel, wobei an jeder Stelle des k-Tupels eine der 365 Zahlen steht.

a) Die Anzahl aller k-Tupel aus der Menge der 365 Zahlen errechnet sich dann wie folgt:

b) Das Ereignis "mindestens 2 Geburtstage fallen zusammen" ist schwer zu erfassen.

Es können nämlich 2, 3 oder 4, usw. bis maximal k Personen sein, die am

gleichen Tag Geburtstag haben. Außerdem kann es auch mehrere Paare geben,

die am gleichen Tag Geburtstag haben.


Einfacher zu berechnen ist dagegen die Mächtigkeit des Gegenereignisses

= "alle Geburtstage der k Personen sind verschieden":

c) Nach Laplace ererechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wie folgt:

Wir bringen den Bruchterm auf eine einfachere Form:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisse A ist abhängig von der Anzahl k der anwesenden Personen. Die Wahrscheinlichkeit ist somit eine Funktion von k: PA(k).

Da die Zahl ist, kann auch ein Computeralgebrasystem wie z. B. Mathcad, diese Formeln nicht mehr berechnen. Wir ersetzen deshalb einen Teil des Quotienten durch ein Produkt:

Für die Berechnung gilt:

Die Funktionsvorschrift lautet:

Ab 23 Personen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass

mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,

ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer

als 90% und

ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen

sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Die folgenden beiden Tabellen zeigen die Wahrscheinlichkeiten für

2 - 41 Personen.

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeit PA(k)

Ein ähnliches Problem:

Jeder der s Schüler einer Klasse notiert sich eine Zahl zwischen 1 und 100.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens 2 Schüler die selbe Zahl

notiert haben?

Ereignis E: "Mindestens 2 Schüler haben sich die selbe Zahl notiert."

Gesucht: P(E) = ?

Lösung:

Die Herleitung der Lösungsformel geschieht völlig analog zu den bereits oben

gemachten Ausführungen. Wir erhalten:

Ab 13 Schülern haben sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 2 Schüler die selbe Zahl zwischen 1 und 100 notiert, usw. .

Der folgenden Tabelle enthält alle oben graphisch dargestellten Wahrscheinlichkeiten

für maximal 35 Schüler:

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