RS 1.2.2004 Komb_2_kTupel.mcd
2 Anzahl der k-Tupel aus einer n-Menge
Beispiel 1: Zahlenschloß
Ein Fahrrad wird mit einem 5-stelligen Zahlenschloß gesichert.
Wie viele Kombinationen gibt es?
Antwort mit Hilfe des Zählprinzips:
Für die Einstellung der 1. Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten,
für die Einstellung der 2. Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten,
für die Einstellung der 3. Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten,
für die Einstellung der 4. Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten,
für die Einstellung der 5. Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten.
Die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten errechnet sich dann wie folgt:
| W | = 10 * 10 * 10 * 10 *10 = 105 = 100 000 Kombinationen.
Beispiel 2: Fußballtoto
Um einen vollständigen Tipp abzugeben, muß man in den 11 Zeilen je eine der 3 Zahlen "1", "0" oder "2" ankreuzen.
Wieviele Möglichkeiten hat man für einen Tipp?
Lösung:
Tipp 1: 1. Reihe 2. Reihe 3. Reihe ....... 11. Reihe
usw. ...
Ein Tipp ist also ein 11- stufiges Zufallsexperiment, wobei jedes Zufallsexperiment
3 mögliche Ergebnisse gestattet.
Es gibt also nach dem Zählprinzip
mögliche Tipps, oder | W | = 311,
d.h. es existieren 311 "11-Tupel" aus einer Menge von 3 Elementen A = { 0; 1; 2 } .
Definition
Es seien k,n
IN , A sei eine Menge mit | A | = n Elementen , kurz eine
n-Menge (bei Toto: n=3).
Jedes Element (a1; a2; a3; ... ;ak)
Ak heißt k-Tupel aus A (bei Toto: k=11).
(für i = 1; ... ; k gilt: ai
A )
Satz:
Die Anzahl der k-Tupel aus einer n-Menge errechnet sich wie folgt:
Vm,W(n;k) = nk
Variationen mit Wiederholungen
zu Beispiel 1: Zahlenschloß
| A | = 10, k = 5
= 105 mögliche 5-Tupel aus der 10-Menge
z. B. w = {(24 745)}
zu Beispiel 2: Fußball-Toto
| A | = 3, k = 11
= 311 mögliche 11-Tupel aus der 3-Menge
z. B. w = {(0;1;1;0;2;1;2;0;0;2;1)}
Merke:
Für die Bildung von k-Tupeln, deren Komponenten Elemente einer n-elementigen Menge A sind, gibt es bei "Berücksichtigung der Reihenfolge" und mit Wiederholung (mit Zurücklegen) nk Möglichkeiten.
Urnenmodell:
Eine Urne enthält n nummerierte Kugeln.
Zufallsexperiment:
Ziehe eine Kugel, notiere die Nummer und lege die Kugel wieder zurück in die
Urne. Wiederhole dieses Ziehen k-mal und notiere die Nummern in richtiger
Reihenfolge.
(Ziehen mit Zurücklegen!)
