RS 1.2.2004 Komb_3_Perm.mcd
3 Anzahl der Permutationen einer n-Menge
Beispiel 1) 100 m Lauf
Die 6 Bahnen auf dem Sportplatz sollen den 6 Läufern zugeordnet werden.
Wieviele Kombinationen sind denkbar?
Lösung:
Für die Vergabe der 1. Bahn gibt es 6 Möglichkeiten (6 Sportler),
für die Vergabe der 2. Bahn gibt es dann noch 5 Möglichkeiten,
für die Vergabe der 3. Bahn verbleiben noch 4 Möglichkeiten,
für die Vergabe der 4. Bahn verbleiben noch 3 Möglichkeiten,
für die Vergabe der 5. Bahn verbleiben noch 2 Möglichkeiten,
für die Vergabe der 6. Bahn verbleiben nur noch 1 Möglichkeit.
1. Bahn 2. Bahn 3. Bahn 4. Bahn 5.Bahn 6. Bahn
Insgesamt gibt es also nach dem Zählprinzip
mögliche Bahnverteilungen, d.h.
Urnenmodell
Eine Urne enthält 6 Zettel mit 6 verschiedenen Namen.
Die 6 Zettel werden nun der Reihe nach ohne Zurücklegen gezogen.
Wieviele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es? (6! = 720)
Definition:
Es sei n IN, A sei eine n-Menge ( |A| = n ).
Jedes n-Tupel (a1; a2; a3; ... ; an) An mit verschiedenen an heißt
Permutation aus A.
Satz:
Die Anzahl der Permutationen einer n-Menge beträgt n! .
Es gilt: PoW(n) = n!
Permutationen ohne Wiederholung
n! = n* (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1
Merke:
Es gibt somit n! Möglichkeiten (Permutationen), um entweder
- n verschiedene Elemente in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen, oder
- n-Tupel zu bilden, deren Komponenten verschieden und Elemente einer
n-elementigen Menge sind.
Zahlenbeispiele:
Die Grenze des Taschenrechners
liegt bei 65! - 70!
Beispiel 2)
Bereits für 10 Gäste einer Geburtstagsfeier gibt es bereits 3 628 800 mögliche
Sitzordnungen auf den Bierbänken (nicht am runden Tisch).
Würden diese Gäste alle 10 Sekunden eine neue Sitzordnung einnehmen, so
benötigten sie trotzdem noch 420 Tage für alle möglichen Sitzordnungen.
Antwort:
Beispiel 3)
Wieviele mögliche Sitzordnungen gibt es für eine Klasse mit
- 23 Schülern?
- 24 Schülern?
Antworten:
Zusatzfrage:
Wie lange braucht die Klasse, um alle möglichen Sitzordnungen einzunehmen, falls alle 10 Sekunden die Plätze gewechselt werden (nebeneinander)?
Antworten:
Jahre, bei 23 Schülern
Jahre, bei 24 Schülern
Zum Vergleich:
Das Alter der Erde beträgt ca. 4*109 Jahre,
das Alter des Universums beträgt ca. 15*109 Jahre (15 Milliarden Jahre).
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