4 Anzahl der k-Permutationen aus einer n-Menge A

Beispiel 1)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 (verschiedene) Karten aus einem Spiel mit 32
Karten zu ziehen und diese der Reihe nach anzuordnen (ohne Zurücklegen)?

Lösung:
Jede Anordnung ist ein Tripel, bei dem jede Stelle mit 1 Karte belegt ist.
Wiederholungen sind nicht möglich.

Für das Ziehen der 1. Karte hat man 32 Möglichkeiten,
für das Ziehen der 2. Karte hat man 31 Möglichkeiten,
für das Ziehen der 3. Karte hat man 30 Möglichkeiten.

Nach dem Zählprinzip hat man also insgesamt 32 * 31 * 30 = 29760 Möglichkeiten, 3 verschiedene Karten aus dem Kartenspiel mit 32 Karten zu ziehen.

| W | = 32 * 31 * 30 = 29760 Tripel aus 3 verschiedenen Karten.

Definition:
Es seien n

IN, k

{1; 2; ... ; n},

, A eine n-Menge.
Jedes k-Tupel (a₁; a₂; a₃; ... a_k)

A^k mit lauter verschiedenen a_i

, heißt k-Permutation aus der n-Menge A.
Oder:
k-Tupel, bei denen alle k Elemente verschieden sind und aus einer n-Menge
ausgewählt werden, nennen wir k-Permutationen.

Satz:
Die Anzahl der k-Permutationen aus einer n-Menge errechnet sich wie folgt:

V_oW(n;k) =

k-Variation ohne Wiederholung
(Sprachgebrauch leider nicht einheitlich)

Urnenmodell:
Eine Urne enthält n nummerierte Kugeln.
Zufallsexperiment:
Ziehe k Kugeln ohne Zurücklegen,

, und ordne diese Kugeln der Reihe
nach an.

Beispiel 2)
Beim Pferdetoto "3 aus 18" müssen aus 18 Teilnehmern eines Pferderennens die ersten 3 Pferde in richtiger Reihenfolge angegeben werden.
Wieviele Möglichkeiten gibt es?

Merke:
Es gibt also

Möglichkeiten, sprich k-Permutationen um
entweder
k-Elemente,

, aus einer n-elementigen Menge in einer bestimmten
Reihenfolge anzuordnen (ohne Wiederholung),
oder
k-Tupel zu bilden, deren Komponenten verschieden und Elemente einer
n-elementigen Menge sind.

Sonderfall
Will man nun alle n Elemente in einer bestimmten Reihenfolge anordnen, so gibt
es bekanntlich n! Möglichkeiten (vgl. Permutationen einer n-Menge).

In diesem Fall gilt k = n und somit folgt

Wir legen somit fest: 0! = 1