RS 1.2.2004 Komb_5_kTeilm.mcd
5 Anzahl der k-Teilmengen aus einer n-Menge A
Beispiel 1) Lottospiel "6 aus 49"
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 49 Zahlen auszuwählen, wobei die
Reihenfolge keine Rolle spielt und jede Zahl nur einmal vorkommen kann.
Lösung:
i) Für die Anzahl aller 6 Permutationen aus den 49 Kugeln gilt nach der Formel für
k-Permutationen aus einer n-Menge
ii) Unter all diesen 6-Tupeln sind je 6! = 720 bis auf die Reihenfolge gleich.
iii) Die Anzahl der 6-Teilmengen aus der 49-Menge (ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge) errechnet sich also wie folgt:
Beim Lottospiel gibt es also rund 14 Millionen verschiedene Kombinationen für die 6 gezogenen Zahlen.
Allgemein gilt somit:
Anzahl der k-Permutationen einer n-Menge
Anzahl der Permutationen einer k-Menge
=
=
Beispiel 2) Pferdelotto
Beim Pferdelotto " 4 aus 18 " sind die 4 ersten Pferde eines Rennens mit
18 Pferden anzukreuzen. Die Reihenfolge ist dabei unbedeutend.
Wieviele mögliche Tipps gibt es.
Lösung:
Es gibt also 3060 Möglichkeiten, 4 Pferde aus 18 Pferden anzukreuzen.
Beispiel 3) Kartenspiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Karten aus einem Spiel mit 24 Karten zu ziehen?
(Ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen)
Lösung:
Es gibt also 10626 Möglichkeiten, 4 Karten aus 24 Karten zu ziehen.
Satz
Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen (k-Teilmengen) aus einer
n-elementigen Menge A errechnet sich wie folgt:
KoW(n;k) = ,
k-Kombinationen aus einer n-Menge
ohne Wiederholungen
Definition
Es seien n, k IN , .
Unter dem Binomialkoeffizienten ( "k aus n" oder "n über k") versteht
man die Zahl mit .
Sonderfall: für k > n .
Konkrete Berechnung:
Eingabe auf dem Taschenrechner: Tasten 49 nCr 6 verwenden.
Hinweis:
Die Zahlen treten bei der Berechnung des binomischen Ausdrucks (a + b)n
als Koeffizienten auf und werden deshalb Binomialkoeffizienten genannt:

Die Koeffizienten stimmen mit den Zahlen des Pascalschen Dreiecks überein.
Urnenmodell
Ziehen von k nummerierten Kugeln aus einer Urne mit n nummerierten Kugeln
ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Merke:
Es gibt also Möglichkeiten, um
entweder
k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Menge zu bilden,
oder
um k Plätze in einem n-Tupel zu belegen.
(Beides ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)
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