6 Anzahl der Permutationen von n Elementen, wobei ni Elemente gleich sind

Beispiel 1)
Auf wieviele Arten kann man die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI anordnen,
so dass neue "Worte" entstehen?

Lösung:
Das Wort MISSISSIPPI enthält folgende Buchstaben:
M 1 mal
I 4 mal
S 4 mal
P 2 mal
zusammen 11 Buchstaben

Für das eine "M" gibt es

Möglichkeiten,
für die 4 "I" gibt es dann noch

Möglichkeiten,
für die 4 "S" gibt es dann noch

Möglichkeiten,
für die verbleibenden 2 "P" gibt es nur

Möglichkeiten.
Nach dem Zählprinzip errechnen sich für die 11 Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI
folgende Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten:

Beachte:
Die Reihenfolge der Buchstaben ist dabei unwichtig, beginnen wir z. B mit den "P":
für die beiden "P" gibt es

Möglichkeiten, für die 4 "S" gibt es noch

Möglichkeiten, für die 4 "I" gibt es dann

Möglichkeiten und für das eine "M" verbleibt nur noch

Möglichkeit. Wiederum gilt:

Satz:
Es gelte n = n₁ + n₂ + ... n_k .
Besteht ein n-Tupel aus k verschiedenen Elementen, die je n₁, n₂, ... n_k-mal
vorkommen, so gibt es
P_mW(n ; n₁, n₂, ... , n_k) =

verschiedene n -Tupel.
Permutationen
mit Wiederholungen

Beispiel 2)
Auf wieviele Arten kann man die Buchstaben der Worte GIANNA NANNINI anordnen,
so dass neue "Worte" entstehen? (ohne Berücksichtigung des Lehrzeichens)

Lösung:
G 1 mal
I 3 mal
A 3 mal
N 6 mal_______
13 Buchstaben
Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten errechnet sich wie folgt:

Beispiel 3)
Auf wieviele Arten kann man die 32 Spielkarten beim "Schafkopfen" auf die 4 Spieler
verteilen, oder
wieviele verschiedene "Spiele" sind beim Schafkopfen möglich?

Lösung:
Für den 1. Spieler gibt es

= 10 518 300 Möglichkeiten seine 8 Karten zu erhalten,
für den 2. Spieler verbleiben noch

= 735471 Möglichkeiten 8 Karten zu erhalten,
für den 3. Spieler verbleiben noch

= 12870 Möglichkeiten 8 Karten zu erhalten
und der letzte Spieler erhält die übrigen 8 Karten:

Möglichkeit.
Nach dem Zählprinzip errechnet sich die Anzahl aller möglichen Spiele wie folgt:

Damit ist ein Kartenspieler sicher ein Leben lang beschäftigt, ohne dass Langeweile aufkommt.