RS 24.2.2005 Zufallsgroessen_i.mcd
Zufallsgrößen und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1) Zufallsgröße
Zu jedem Zufallsexperiment gehört ein Ergebnisraum W . Die einzelnen
Ergebnisse wi können Buchstaben,
Buchstabenkombinationen
oder Zahlen sein. Mit Buchstaben oder anderen Symbolen kann
man nicht numerisch rechnen. Den einzelnen Ergebnissen des
Ergebnissraumes W werden deshalb
Zahlenwerte zugeordnet, d. h. die Ergebnisse aus W werden bewertet. Diese
Zuordnung wird durch eine Funktion beschrieben.
Definition
Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem
Ergebnis wi eines Ergebnisraumes W eine reelle Zahl xi zuordnet.
X: W T W
IR
mit X(wi) = xi D(X) = W , W(X) = { x1; x2; x3; ... ; xn
}
IR
1. Beispiel: Kartenspiel
Ein Kartenspiel enthält Karten unterschiedlicher
Wertigkeit. Zieht man willkürlich eine Karte, so erhält man
entweder einen König, eine Dame, usw. .
Alle möglichen Ergebnisse w werden im Ergebnisraum W angegeben:
W = { Ass,
Zehn, König, Dame, Bube, Neun, Acht, Sieben} .
Bekanntlich wird jede dieser Karten mit Punkten bewertet. Nur
so ist ein Kartenspiel überhaupt möglich.
Ein Ass ist 11 Punkte wert, eine Zehn wird mit 10 Punkten
bewertet, usw. Diese Zuordnung wird nun durch eine
Zufallsgröße X wie folgt beschrieben:
11, wenn w ein Ass ist
10, wenn w eine Zehn ist
4, wenn w ein
König ist
3, wenn w eine Dame ist
2, wenn w ein Bube ist
0, wenn w eine andere
Karte ist, also eine Neun, Acht oder Sieben
X(w) =
2. Beispiel: Roulette
Beim Roulettespiel kann die Kugel auf einen von 37 Plätzen fallen. Der Ergebnisraum W enthält alle
Zahlen von 0 bis 36.
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
... , 34, 35, 36} .
Ein Spieler setzt auf "1. Dutzend".
Für das Ereignis E = {"1. Dutzend"} gilt: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }.
Die Zufallsgröße X beschreibe den
Reingewinn. Trifft die Kugel eine Zahl zwischen 1 und 12, so wird der
dreifache Einsatz ausbezahlt, d. h. der Reingewinn ist nur der doppelte
Einsatz. Erscheint eine Zahl außerhalb des 1. Dutzends, so geht
der Einsatz verloren. Der "Reingewinn" ist also der Verlust des
Einsatzes.
Es gilt:
2) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsgröße
Die Zufallsgröße X weist jedem Element
aus dem Ergebnisraum W einen Zahlenwert zu, z. B. der Spielkarte "Ass" die 11 Punkte.
Für den Spieler wichtig ist aber vor allem, mit welcher
Wahrscheinlichkeit er nun eine Karte mit dem Spielwert 11 Punkte
erhalten wird. Den Werten der Zufallsgröße X wird deshalb die
Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zugeordnet.
Beispiel Kartenspiel:
Ein Kartenspiel mit 32 Karten enthält 4 Asse. Die
Wahrscheinlichkeit ein Ass zu erhalten beträgt somit 4/32.
Damit gilt aber auch: die Wahrscheinlichkeit, dass die
Zufallsgröße X(w) den Wert 11 annimmt
ist ebenfalls 4/32.
P(X(Ass) = 11) = 4/32
Definition
Gegeben seien ein Ergebnisraum W und eine
Zufallsgrösse X: W T W
IR .
Die Funktion P, die jedem Element xi
W die entsprechende
Wahrscheinlichkeit zuordnet, bezeichnet man als
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.
P: W T ]0;1[
mit P(X = xi) = pi
1. Beispiel: Kartenspiel:
Zufallsgröße
X
Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
Den Spielkarten wird als mittels der Zufallsgröße X ein Punktewert
zugeordnet.
Den Punktewerten wird mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P
eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
Graphische Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung
für das Kartenspiel
a) Graph
b) Stabdiagramm
c) Histogrammdarstellung
2. Beispiel: Setzen auf 1. Dutzend beim
Roulett
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
... , 34, 35, 36} .
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
Zufallsgröße
X
Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
Graphische Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung
für 1. Dutzend" beim Roulett
a) Graph
b) Stabdiagramm
c) Histogrammdarstellung
3. Beispiel: beliebig vorgegebene
Zufallsgröße
Gegeben sei eine Zufallsgröße X die folgende Werte
annimmt:
Zu den einzelnen Werten der Zufallsgröße X gehören folgende
Wahrscheinlichkeiten:
Graphische Darstellungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung
a) Graph
b) Stabdiagramme
c) Histogrammdarstellung
Wahrscheinlichkeitsfunktion
im Lehrplan der FOS/BOS nicht mehr enthalten
Bei allen bisherigen Graphen handelt es sich um die
Darstellung einzelner, isolierter Funktionswerte.
Es werden somit nur endlich viele isolierte Punkte
gezeichnet.
Zwischen den einzelnen isolierten Werten der
Zufallsgröße X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
ein solcher Zwischenwert angenommen wird gleich Null.
Beispiel:
Beim Kartenspiel nimmt keine Karte den Punktewert =
6 an.
Somit folgt: P(X = 6) = 0 .
Diese Tatsache wird bei folgender Definition einer neuen
Funktion berücksichtigt.
Definition:
Die folgende auf IR definierte Funktion f wird Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt:
Es gilt: D(f) = IR , W(f)
[0;1]
Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Histogramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion
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