GS - 10.10.03 -
anw_02_Kruemmungskreise.mcd
Ein Maß für die Krümmung
- Krümmungskreise -
Weiterführendes: Nicht im Lehrplan von
FOS/BOS
1.
Die Krümmung:
Definition:
Unter der Krümmung
einer
Funktion f versteht man die "Steigung
der Steigung".
Die Funktion f heißt linksgekrümmt
(lk), wenn
die Steigung der Tangente zunimmt.
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt
(rk), wenn
die Steigung der Tangente abnimmt.
Es gilt:
Gf linksgekrümmt
f´´(x) > 0
Gf rechtsgekrümmt
f´´(x)
< 0 a
Interpretation:
Die Krümmung der Funktion f ist die Steigung ihrer Tangenten in bestimmten Punkten der
Funktion. Die Richtung der Tangenten ändert sich in jedem Punkt
des Graphen, wodurch im Verlauf des Graphen eine Kurve entsteht. Die
Steigung der Tangente erhalten wir über die zweite Ableitung
f´´ der Funktion f. Ist die 2. Ableitung f´´
für ein bestimmtes x0 positiv,
so ist der Graph von f linksgekrümmt.
Ist die 2. Ableitung f´´ für ein
bestimmtes x0 negativ
so ist der Graph von f rechtsgekrümmt.
Durch die 2. Ableitung kann jedoch nur wenig
über den geometrischen Verlauf eines Funktionsgraphen Gf
ausgesagt werden, sie ist kein Maß für die Krümmung.
2.
Das Krümmungsmaß:
Die Kreislinie ist geeignet, die Krümmung
geometrisch zu erfassen, da sie überall die gleiche Krümmung
hat. Man kann für jeden Kurvenpunkt P(x0/f(x0))
einer Funktion f einen "Schmiegekreis"
finden, dessen Radius dann
die "Stärke der
Krümmung" einer Kurve
beschreibt.
Über den Radius dieses Kreises kann auch das Krümmungsmaß errechnet werden, welches den
Kehrwert des Krümmungskreisradius darstellt. Ein großer
Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius
bedeutet eine starke Krümmung.
Die Evolute, die im unteren Diagramm mit rot
dargestellt ist, stellt den Trägergraph der Schmiege-
kreismittelpunkte dar.
3.
Krümmungsformeln:
Vergleiche
mit den Formeln in der
Formelsammlung Seite 64 / 5c
Krümmungskreismittelpunkt:
Krümmungskreisradius:
4.
Darstellung der Krümmungkreise einer Funktion f:
Beispiel: Gegeben ist die
Funktion f.
Funktionsterm:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Krümmungsradius
r und mit
Krümmung k:
Krümmungskreismittelpunkt:
Krümmungskreis
in Parameterdarstellung:
animieren von 0 bis 80
großer Kreis
für c = 20
kleiner Kreis
für c = 63
Wähle:
Berührpunkt:
5.
Anwendung in der Technik:
Die Krümmung hat auch eine wichtige
physikalische bzw. ingeneurstechnische Bedeutung, denn ohne
die Krümmung wäre der Bau von Straßen, wie wir ihn kennen, gar nicht
möglich.
Aus Krümmungsmaß und
Krümmungsradius können wichtige Erkenntnisse gewonnen werden,
wie
z.B. die maximale
Geschwindigkeit mit welcher
ein Fahrzeug eine Kurve
durchfahren kann, ohne
dabei die Haftung zu verlieren.
