MK 2.6.2003 EigenschaftendiffbarerFun.mcd
Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Satz von Rolle
Ist die Funktion f stetig im Intervall [a ; b] und differenzierbar in ]a ; b[ und f(a)=f(b)=0 , dann existiert mindestens eine Stelle x0 € ]a ; b[ so, dass gilt
.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ist die Funktion f stetig im Intervall [a ; b] und differenzierbar in ]a ; b[ , dann existiert mindestens eine Stelle
x0 € ]a ; b[ so, dass gilt
.
Lineare Approximation
Der Mittelwertsatz:
Setze nun b=x und x0=a
"Extrapolation, Lineare Approximation"
(Gilt aber nur ungefähr, da die Stelle x0 nur näherungsweise bekannt und somit auch nur a
x0)
Daraus lässt sich eine Näherungsberechnung für eine Nullstelle einer Funktion gewinnen:
mit
Fortlaufend berechnet ergibt sich dann folgender Algorithmus, der als Newtonsches Näherungsverfahren bekannt ist:
"Newtonverfahren"
Berechnet man auch noch die Ableitung nur näherungsweise (nach dem Mittelwertsatz)
(aus einem Punkt voher)
dann erhält man das Sekantenverfahren, wenn man f´(xi) in das Newtonverfahren einsetzt:
