GS - 24.08.04 - abl_05_zweiteAbl.mcd
Die zweite Ableitung
- Krümmungseigenschaft -
1. Krümmung:
Definition:
Unter der Krümmung einer Funktion f versteht man die "Steigung der Steigung".
Die Funktion f heißt linksgekrümmt (lk), wenn die Steigung der Tangente zunimmt.
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt (rk), wenn die Steigung der Tangente abnimmt.
Es gilt: Die "Steigung der Steigung" kann über die Ableitung der 1. Ableitung untersucht werden, also wird die 2. Ableitung betrachtet.
Beispiel 1: Gegeben ist eine Funktion 4. Grades mit ihren Ableitungen.
Funktion:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Nun gilt:
Die maximale Steigungsänderung erfolgt in den Extremwerten der 1. Ableitung, das sind die Nullstellen der 2. Ableitung.
Da sich im Extremum der 1. Ableitung das Vorzeichen der Steigungsänderung ändert, muss sich also auch das Krümmungsverhalten ändern.
Kriterium für das Krümmungsverhalten:
Die Funktion f heißt linksgekrümmt (lk)
f´´(x) > 0
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt (rk)
f´´(x) < 0
2. Wendepunkt:
Definition:
Unter dem Wendepunkt einer einer Funktion versteht man den Kurvenpunkt (x0/f(x0)), in dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt (FS Seite 63 / G4b)
Notwendig:
und hinreichend:
oder hinreichend:
ist einfache Nullstelle der 2. Ableitung
f´´(x) > 0
f´´(x) > 0
Funktion
2. Abl.
HP
1. Abl.
rk
Wendepunkt
Wendepunkt
f´´(x) < 0
lk
lk
TP
TP
lk = linksgekrümmt
rk = rechtsgekrümmt
Nun gilt:
Im Tiefpunkt einer Funktion f ist der Graph linksgekrümmt, im Hochpunkt einer Funktion f ist der Graph rechtsgekrümmt. Das liefert ein weiteres Kriterium für die Art der Extema.
3. Art des Extremums über die Krümmung:
Satz: Notwendige und Hinreichende Bedingung für die Art des Extremums (FS Seite 63 / G4c)
Die Funktion f sei im Intervall ]a;b[ zweimal differenzierbar.
Gilt f´(x0) = 0 und f´´(x0) < 0, so ist das Extremum ein rel. Maximum: Hochpunkt
Gilt f´(x0) = 0 und f´´(x0) > 0, so ist das Extremum ein rel. Minimum: Tiefpunkt
4. Terrassenpunkt:
Nun gilt:
Die Wendepunkte einer Funktion f sind also die Nullstellen der 2. Ableitung f´´ und gleichzeitig die Ex- trema der 1. Ableitung. Dieses Extremum der 1. Ableitung kann nun selbst Nullstelle sein, der Kurven- punkt ist dann ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente, falls sich das Vorzeichen der 2. Ableitung ändert.
Definition:
Unter dem Terrassenpunkt einer Funktion versteht man einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente.
Beispiel 2: Gegeben ist eine Funktion 4. Grades mit ihren Ableitungen.
Funktion:
1. Ableitung:
2. Ableitung:
Extremum
Horizontale Tangenten:
kein Extremum
Wendepunkt
Nullstellen der 2. Ableitung:
Wendepunkt mit hor. Tang.
Funktionswerte:
Tiefpunkt: TP( 1 /
)
Wendepunkt: WP ( 2 / 0 )
Terrassenpunkt: TeP ( 4 / 2 )
Funktion
2. Abl.
f´´(x) > 0
f´´(x) > 0
lk
Terrassenpunkt
rk
Wendepunkt
lk
f´´(x) < 0
TP
lk = linksgekrümmt
rk = rechtsgekrümmt
1. Abl.
