MK 5.6.2008 LP_M_BOS12NT_A2.mcd

Lehrplan Mathematik BOS Nichttechnik 12. Jahrgangstufe - Analysis (2)

Analysis Teil 1

12.1 Grundbegriffe bei

reellen Funktionen

12.2 Grenzwert und Stetigkeit

Analysis Teil 2

12.3 Differenzialrechnung

12.4 Integralrechnung

Stochastik

12.5 Zufallsexperiment und Ereignis

12.6 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

12.7 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

12.8 Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

12.9 Testen von Hypothesen

12.3 Differenzialrechnung

12.3.1

LERNZIELE: Anhand einfacher Funktionen erfahren die Schülerinnen und Schüler die Grundbegriffe der Differenzialrechnung. Sie erlernen das Aufstellen der Gleichung einer Tangente im Punkt eines Graphen und lernen den Begriff der Ableitungsfunktion kennen. Neben der geometrischen Betrachtung (Sekante, Tangente) erkennen sie die Ableitung als lokale Änderungsrate einer Größe.

LERNINHALTE:

Differenzenquotient

Differenzialquotient

Differenzierbarkeit

Ableitung einer Funktion an einer Stelle und

Bestimmung der Ableitungsfunktionen

für , , ,

unter Verwendung des Differenzenquotienten


Tangente

Unterschiedliche Schreibweisen:

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:





Es sollen keine abschnittsweise definierten Funktionen mit dem Differenzenquotienten untersucht werden.

Die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate einer Größe lässt sich u. a. durch folgende Beispiele verdeutlichen:

Momentangeschwindigkeit, Momentanbeschleunigung, Entwicklung von Aktienkursen, Populationen u. Ä.


Durch Darstellung der Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion mit Hilfe des Computers kann die

Änderung einzelner Parameter und deren Auswirkung anschaulich behandelt werden

Änderungsrate einer Größe






Zusammenhang zwischen den Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion

Passende Dateien:

8.1.1 Tangentenproblem.mcd Hinführung zur Problematik des Differenzierens

8.1.2 DiffbarkeitGrundlagen.mcd Grundlegendes, Ableitungsfunktion

8.1.3 DiffbarkeitGrundlagen_Ueb.mcd Übungen dazu

8.1.14 D1_von_Puttenham_nach_Bergham.mcd Ausführliche Einf. Tangentenproblem/Differentialquotient (1)

8.1.15 D2_Steigungen.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (2)

8.1.16 D3_GrenzwertSteigung.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (3)

8.1.17 D4_DeutscheBuschtrommel.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (4)

8.1.18 D5_Momgeschw.mcd Ausführliche Einführung Tangentenproblem/Differentialquotient (5)

12.3.2

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass die Ableitungsregeln die Berechnung von Ableitungen erleichtern.

LERNINHALTE:

Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor

Summenregel

Ableitung von mit n € N

Ableitung der Polynomfunktionen

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Auf Produkt- und Kettenregel wird verzichtet.

Passende Dateien:

8.1.4 Differentiationxhochn.mcd Beweis für Ableitung von x hoch n

8.1.5 Differentiationsregeln_1.mcd Additive Konstante, konstanter Faktor, Summe von Funktionen

8.1.6 Differentiation_Ueb_1.mcd Übungen dazu: Additive Konstante, konst. Faktor, Summe von Funktionen

8.1.7 Differentiation_Ueb_2_Untersuch.mcd Untersuchung einfacher zusammengesezter Funktionen

8.1.8 Differentiation_Ueb_2a_Untersuch.mcd Untersuchung einfacher zusammengesezter Funktionen

8.1.11 Ableitung_Ueb.mcd Übungen 1., 2. und 3. Ableitung

12.3.3

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion.

LERNINHALTE:

Stetigkeit als notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit

Ableitung von abschnittsweise definierten Funktionen ohne Parameter

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Die Existenz von ist hinreichend für die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion an der Stelle x0.

12.3.4

LERNZIELE: Zunächst vergleichen die Schülerinnen und Schüler die Funktionseigenschaften „streng monoton zunehmend (abnehmend) in einem Intervall“ und „positive (negative) Ableitung in einem Intervall“ miteinander und grenzen diese gegeneinander ab.

LERNINHALTE:

Monotoniedefinition

Monotoniekriterium

Bestimmung der maximalen Intervalle in der Definitionsmenge, in denen ein Graph streng monoton steigt bzw. fällt

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Die Funktion f: x--> ist in IR streng monoton zu- nehmend, obwohl gilt.

Anwendungen: z. B. Anstieg der Lebenshaltungskosten

Passende Dateien:

10.1 Werkzeuge zur Kurvendiskussion

10.1.1 Monotonie_Int.mcd Monotonie und maximale Monotonieintervalle

10.1.2 Extremwerte.mcd Minima und Maxima

10.1.4 MonoEx_Ueb.mcd Übung: Monotonieintervalle und Extrempunkte

12.3.5

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass zwischen den Funktionen

und

ein analoger Zusammenhang besteht wie zwischen den Funktionen f und

, und erkennen die Bedeutung

des Vorzeichens von

für den Verlauf des Graphen von f.

LERNINHALTE: Links- und Rechtskrümmung

Maximale Intervalle in der Definitionsmenge, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist

HINWEISE ZUM UNTERRICHT: Interpretation der positiven bzw. negativen zweiten Ableitung als Zunahme bzw. Abnahme der Steigung eines Funktionsgraphen

Anwendungen: z. B. Verminderung des Anstiegs der Lebenshaltungskosten

Passende Dateien:

10.1.7 ZweiteAbleitung.mcd Höhere Ableitungen einer Funktion

10.1.8 SteigungKruemmung.mcd Zu was kann man es brauchen?

8.2.8 Ueb_Fun_ab_auf.mcd Skizzieren abgeleiteter und aufgeleiteter Funktionen: f, f ', f ''

12.3.6

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten Kriterien für die Extrempunkte eines Graphen und deren Art sowie Kriterien für Wendepunkte und Terrassenpunkte.

LERNINHALTE:

Definition des Begriffes „Extrempunkt“ ohne Voraussetzung der Differenzierbarkeit

Hinreichendes Kriterium für Extrempunkte bei einmal bzw. mindestens zweimal differenzierbaren Funktionen

Wendestellen als eigentliche Extremstellen

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

von

Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte bei zweimal bzw. mindestens dreimal differenzierbaren Funktionen.

Randextrema, absolute Extrema

Passende Dateien:

10.1.3 Randextremwerte.mcd Die Berücksichtigung der Ränder am Beispiel

10.1.5 RandAbsEx_Ueb.mcd Übung Randextremwerte und absolute Extremwerte

10.1.6 RandAbsEx_Ueb_2.mcd Übung Randextremwerte und absolute Extremwerte

12.3.7

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Sicherheit in der Kurvendiskussion ganzrationaler

Funktionen und in der Anwendung der Differenzialrechnung. Die Grundlagen der mathematischen

Modellbildung aus Lernziel 12.1.3 werden hier mit Hilfe der Differenzialrechnung erweitert

LERNINHALTE:

Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen

und einparametrigen Funktionenscharen


Aufstellen des Funktionsterms bei vorgegebenen Eigenschaften


Anwendungsaufgaben, auch Optimierungsprobleme

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Der Einfluss eines Scharparameters auf den Verlauf des Graphen kann mit Computerprogrammen veranschaulicht werden.

Beschränkung auf höchstens vier Bedingungen

Auf das Aufstellen von Funktionenscharen wird verzichtet.

10.1.10 Kurvendiskussion_Pol.mcd Ein einfaches Beispiel zu einer Kurvendiskussion

10.1.11 Kurv-O-mat_1.mcd Kurvendiskussion automatisiert

10.1.12 Kurvendisk_autom_i.mcd Programmierte Kurvendiskussion mit Beispielen

10.2 Polynomfunktionen

10.2.1 Extremwerte_Ueb_1.mcd Übung: relative Extrempunkte

10.2.2 Extremwerte_Ueb_2.mcd Übung: absolute Extrempunkte

10.2.3 Kurvendisk_Pol_Ueb_1.mcd Übung: Kurvendiskussion vollständig

10.2.4 Kurvendisk_Pol_Ueb_2.mcd Übung: Vermischtes

10.2.5 Kurvendisk_Pol_Ueb_3.mcd Übung: Funktionsgleichung aus Eigenschaften

10.2.6 Kurvendisk_Pol_Ueb_4.mcd Übung: Kurvendiskussion mit Parameter

10.1.13 UeberblickKurvendisk_1.mcd Einfache Anleitung zur Kurvendiskussion mit Beispielen (1)

10.1.14 UeberblickKurvendisk_2.mcd Einfache Anleitung zur Kurvendiskussion mit Beispielen (2)

10.2.9 ZusatzKD.mcd Kurvendiskussion - zusätzliche Aufgaben

ZusatzKD_L1.mcd ZusatzKD_L2.mcd ZusatzKD_L3.mcd ZusatzKD_L4.mcd ZusatzKD_L5.mcd

ZusatzKD_L6.mcd Lösungen zu ZusatzKD.mcd

10.1.15 Kurvendiskussion (18 Dateien)

GS_Kurvendiskussion.mcd

eigenständiger Themenkreis

11.1 Optimierung.mcd Schachteln und Dosen

11.2 AnwendganzratFkt_Dachgiebel_i.mcd Dachausbau

11.3 AnwendganzratFkt_Schachtel_i.mcd Schachtel ohne Deckel

11.10 AnwganzratFkt_Kollisionsgefahr.mcd Zwei Hochseeschiffe auf Kollisionskurs

13.5 Schnecken_Rennen.mcd Schnecken-Rennen

12.4 Integralrechnung

LERNZIELE: Die Schülerinnen und Schüler lernen, Stammfunktionen von Funktionen zu finden, und berechnen damit bestimmte Integrale.

LERNINHALTE:

Stammfunktion einer Funktion

Unbestimmtes Integral

Definition und Eigenschaften des bestimmten Integrals

Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz

Berechnung von bestimmten Integralen und Flächeninhalten ohne Parameter

HINWEISE ZUM UNTERRICHT:

Der Zusammenhang zwischen Differenzial- und Integralrechnung kann über die Ableitung der Flächenfunktion plausibel gemacht werden.

Passende Dateien:

9.1 Grundlagen

9.1.1 IntegralRiemann.mcd Einführung des Integrals über Summen

9.1.2 IntegralRiemann_UebSumme.mcd Einfache Übung dazu

9.1.3 Integralsaetze.mcd Die Integralsätze (ohne Beweis)

9.1.4 WertIntegral.mcd Wert eines bestimmten Integrals

9.1.5 Hauptsatz.mcd Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

9.1.6 Stammfunktion_Ueb.mcd Einfache Stammfunktionen

9.1.7 Stammfunktion_Ueb2.mcd Einfache Stammfunktionen

9.1.8 BestIntegral_Ueb.mcd Übung: Der Wert eines bestimmten Integrals

9.2 Flächenberechnungen

9.2.1 IntegralueberNullstelle.mcd Integration über eine Nullstelle bei Flächenberechnungen

9.2.2 Integral_Ueb_1.mcd Übungen dazu

9.2.3 FlaechezwFunkt.mcd Fläche zwischen zwei Funktionen

9.2.4 Integral_Ueb_2.mcd Übungen dazu

9.2.5 Integral_Ueb_3.mcd weitere Übungen dazu

9.2.6 Integral_Ueb_4.mcd weitere Übungen dazu